《现代数值分析》是为高等院校理工科研究生各专业开设的“数值分析”课程编写的教材, 内容包括函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程求根、矩阵特征值与特征向量、常微分方程初值问题的数值解法、傅里叶变换与小波变换、偏微分方程数值解初步. 全书注重算法数学理论的建立和应用, 最终实现工程问题的数学化、数学问题的数值化.
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目录
前言
第1章 科学计算引论 1
1.1 科学计算背景 1
1.1.1 科学计算与计算数学 1
1.1.2 计算数学与现代科学计算 1
1.1.3 计算方法与计算机技术 2
1.2 科学计算的误差 3
1.2.1 科学计算误差的产生 3
1.2.2 误差的基本概念 3
1.2.3 有效数字 4
1.3 科学计算中的算法优化和误差估计 6
1.3.1 数值运算时误差的传播 6
1.3.2 算法中应避免的问题 7
1.3.3 算法设计中的基本思想 8
1.3.4 数值计算的收敛性与稳定性 12
习题1 13
数值实验题 13
第2章 函数插值 14
2.1 引言 14
2.1.1 插值问题 14
2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性 14
2.2 拉格朗日插值 15
2.2.1 线性插值与抛物线插值 15
2.2.2 拉格朗日插值多项式 16
2.2.3 插值余项与误差估计 17
2.3 牛顿插值 21
2.3.1 插值多项式的逐次生成 21
2.3.2 均差及其性质 22
2.3.3 牛顿插值公式 23
2.3.4 牛顿向前插值公式 25
2.4 埃尔米特插值 28
2.4.1 重节点均差与泰勒插值 28
2.4.2 典型的埃尔米特插值 28
2.4.3 一般形式与插值余项 31
2.5 分段多项式插值 32
2.5.1 高次多项式插值的龙格现象 32
2.5.2 分段线性插值 33
2.5.3 分段三次埃尔米特插值 34
2.6 三次样条插值 35
2.6.1 基本概念 35
2.6.2 三次样条函数 35
2.6.3 样条插值函数的建立 36
2.6.4 误差界与收敛性 40
习题2 40
数值实验题 41
第3章 函数逼近 42
3.1 引言 42
3.1.1 函数逼近问题 42
3.1.2 范数与赋范线性空间 43
3.1.3 内积与内积空间 44
3.2 正交多项式 46
3.2.1 正交函数族与正交多项式 46
3.2.2 勒让德多项式 49
3.2.3 切比雪夫多项式 50
3.2.4 其他常用的正交多项式 51
3.3 最佳平方逼近 52
3.3.1 最佳平方逼近及其计算 52
3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近 54
3.4 最佳一致逼近 56
3.4.1 基本概念及其理论 56
3.4.2 用插值余项最小化作最佳一致逼近 59
3.5 最小二乘拟合 62
3.5.1 最小二乘法及其计算 62
3.5.2 用正交多项式作最小二乘拟合 66
3.6 有理逼近 67
3.6.1 有理函数逼近与插值 67
3.6.2 帕德逼近 69
习题3 72
数值实验题 74
第4章 数值积分与数值微分 75
4.1 数值积分概论 75
4.1.1 数值积分的基本思想 75
4.1.2 代数精度的概念 76
4.1.3 插值型的求积公式 77
4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 79
4.1.5 求积公式的余项 79
4.2 牛顿-科茨公式 82
4.2.1 科茨系数 82
4.2.2 偶阶求积公式的代数精度及其余项 84
4.3 复合求积公式 85
4.3.1 复合梯形公式 86
4.3.2 复合辛普森求积公式 86
4.4 龙贝格求积公式 89
4.4.1 梯形公式的递推化 89
4.4.2 龙贝格算法 89
4.4.3 理查森外推加速法 90
4.5 高斯型求积公式 92
4.5.1 一般理论 92
4.5.2 高斯-勒让德求积公式 96
4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式 98
4.6 数值微分 98
4.6.1 中点方法与误差分析 98
4.6.2 插值型的求导公式 100
习题4 101
数值实验题 102
第5章 线性方程组的直接解法 103
5.1 高斯消去法 103
5.1.1 回代过程与消元过程 103
5.1.2 高斯消去法的矩阵描述 107
5.1.3 选主元的高斯消去法 108
5.2 矩阵的三角分解 111
5.2.1 直接三角分解法 111
5.2.2 平方根法 112
5.2.3 追赶法 115
5.3 向量和矩阵范数 117
5.3.1 向量的极限定义 118
5.3.2 矩阵范数 119
5.4 误差分析 122
5.4.1 条件数与误差分析 122
5.4.2 病态检测与改善 125
习题5 127
数值实验题 128
第6章 解线性代数方程组的迭代法 130
6.1 迭代法的基本思想 130
6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法 131
6.2.1 雅可比迭代法 131
6.2.2 高斯-赛德尔迭代法 133
6.3 迭代法及其收敛性 135
6.3.1 矩阵序列的极限 135
6.3.2 迭代法的收敛性 136
6.3.3 特殊方程组迭代法的收敛性 139
6.3.4 误差估计 141
6.3.5 迭代法的收敛速度 143
6.4 逐次超松弛迭代法 144
6.4.1 超松弛迭代法的基本思想 144
6.4.2 超松弛迭代法的矩阵形式 144
6.4.3 超松弛法的收敛性 145
习题6 148
数值实验题 149
第7章 非线性方程求根 150
7.1 方程求根问题 150
7.1.1 方程求根简介 150
7.1.2 二分法 150
7.2 线性插值方法 154
7.2.1 割线法 154
7.2.2 牛顿法 155
7.3 不动点迭代法 157
7.3.1 不动点与不动点迭代法 157
7.3.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 160
7.4 迭代法的误差分析及牛顿法收敛性再讨论 162
7.4.1 迭代法的误差分析 162
7.4.2 牛顿法收敛性再讨论 166
7.5 迭代法收敛的加速方法 170
7.5.1 艾特肯加速收敛方法 170
7.5.2 斯特芬森迭代法 172
7.6 多项式零点与抛物线法 174
7.6.1 秦九韶算法 174
7.6.2 多项式全部根求解问题 177
7.6.3 抛物线法 178
7.7 非线性方程组的解法 182
7.7.1 非线性方程组 182
7.7.2 非线性方程组的牛顿迭代法 183
7.7.3 多变量方程的不动点迭代法 185
习题7 187
数值实验题 188
第8章 矩阵特征值与特征向量 190
8.1 基本概念与特征值分布 190
8.2 乘幂法与反幂法 196
8.2.1 乘幂法 196
8.2.2 乘幂法的加速技术 200
8.2.3 反幂法 203
8.3 矩阵的正交三角化 205
8.3.1 豪斯霍尔德变换 206
8.3.2 吉文斯变换 208
8.4 QR分解与QR算法 210
8.4.1 QR分解 211
8.4.2 QR算法 213
习题8 215
数值实验题 216
第9章 常微分方程初值问题的数值解法 218
9.1 引言 218
9.1.1 常微分方程初值问题 218
9.1.2 什么是常微分方程数值解法 219
9.2 欧拉法与梯形方法 220
9.2.1 欧拉法 220
9.2.2 梯形方法 222
9.2.3 梯形公式的预估-校正方法 223
9.2.4 单步法的局部截断误差及其阶 224
9.3 龙格-库塔方法 226
9.3.1 显式龙格-库塔方法的一般形式 226
9.3.2 二级二阶显式龙格-库塔方法 227
9.3.3 三级三阶与四级四阶显式龙格-库塔方法 228
9.4 初值问题单步法的相容性、收敛性与稳定性 230
9.4.1 相容性 230
9.4.2 收敛性 231
9.4.3 稳定性 232
9.5* 线性多步法 233
9.5.1 亚当斯方法 234
9.5.2 汉明方法 237
9.5.3 预估-校正方法 239
9.6 线性多步法的相容性、收敛性与稳定性 240
9.6.1 相容性 240
9.6.2 收敛性 241
9.6.3 稳定性 241
习题9 241
数值实验题 243
第10章 傅里叶变换与小波变换 244
10.1 傅里叶级数 244
10.2 傅里叶变换 245
10.2.1 连续函数的傅里叶变换 245
10.2.2 δ-函数的定义及其性质 246
10.2.3 离散函数的傅里叶变换 248
10.3 傅里叶变换的性质 250
10.3.1 傅里叶变换的基本性质 250
10.3.2 离散快速傅里叶变换 253
10.4 尺度空间与小波空间 254
10.4.1 L2(R)空间及其特性 254
10.4.2 尺度函数与小波函数、尺度空间与小波空间 255
10.5 小波变换及其应用 258
10.5.1 小波变换 258
10.5.2 快速小波变换 259
习题10 264
数值实验题 265
第11章 偏微分方程数值解初步 267
11.1 偏微分方程的基本概念与分类 267
11.1.1 偏微分方程的基本概念 267
11.1.2 线性偏微分方程的分类 269
11.1.3 一些典型的偏微分方程 269
11.2 偏微分方程的定解问题 271
11.2.1 椭圆型偏微分方程的定解问题 271
11.2.2 抛物型偏微分方程的定解问题 272
11.2.3 双曲型偏微分方程的定解问题 272
11.3 偏微分方程有限差分方法 273
11.3.1 有限差分方法网格剖分 274
11.3.2 有限差分格式 274
11.3.3 隐式差分格式 276
11.3.4 有限差分格式的相容性、收敛性和稳定性 276
11.4 抛物型偏微分方程有限差分方法 278
11.4.1 向前差分格式、向后差分格式 278
11.4.2 数值算例 279
11.5 椭圆型偏微分方程有限差分方法 281
11.5.1 泊松方程的五点差分格式 281
11.5.2 差分格式的性质 282
11.5.3 数值算例 282
11.6 双曲型偏微分方程有限差分方法 286
11.6.1 迎风格式 286
11.6.2 拉克斯-弗里德里希斯格式 287
11.6.3 拉克斯-温德罗夫格式 287
11.6.4 双曲型方程差分格式收敛的必要条件 287
11.6.5 数值算例 288
习题11 288
数值实验题 290
参考文献 291
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