开方算法是古代数学中的一个主要内容。和其他的辉煌成就一样,已日益得到国人和世界学术界有识之士的认可。世界是多元的,文化是多元的,数学也是多元的。而且在数学发展的长河中,中西两大源头独立发展,交相辉映,最终经阿拉伯数学家的传播交融在一起,汇流为当今的数学。公元2世纪前后,希腊数学式微,中国数学占据了世界数学舞台的中心,从此以算法研究为主的数学模式取代了几何研究范式。中国算法的成就通过各种途径,如丝绸之路传入西方,对刚经历过黑暗的中世纪的欧洲文艺复兴时期的数学发展,起到了不可估量的影响,正是中国算法与古希腊几何学的结合,导致了解析几何学的产生,为常量数学转变为变量数学做出了贡献。
随着当今计算机技术的高速发展,数值计算的软件功能也变得越来越强大。现今,在业界“横行霸道”的综合性软件是Matlab,另外以符号计算著称的Maple和Mathematica这几年在数值计算上也有长足的发展。这就使得我们面对的一些数值计算问题变得非常简单,即只用软件的一条命令,输完命令代码,轻敲回车,所需数值结果就会出现在我们的视野里。比如,我们可以用Maple或者Matlab的命令solve(equation,x)求解本书要介绍的高次方程的数值解问题。当然,现在一些科学计算器也能解决一些简单的数值计算问题,如我们可以利用计算器上的x(n)按钮进行开方运算。但是,无论是从知识的获取和综合素质的提高,还是就算法本身来讲,了解数学软件或计算器后台使用的算法形成和发展过程,对学习者来说都是大有裨益的。为此,我们需要回到历史的维度中重新审视这些算法的发展过程。
在整个世界数学发展的长河中,中国数学有其独特的地位。公元前24世纪左右开始的两河流域的数学和公元前1世纪左右开始的尼罗河流域数学最先发展起来。公元前7世纪起,希腊地区发达的数学开始取而代之。约公元前3世纪至公元14世纪初,中国取代古希腊成为世界数学研究的中心,之后印度和阿拉伯地区的数学也发展起来。欧洲数学度过了中世纪的黑暗之后,随着14世纪至16世纪的文艺复兴,17世纪中叶之后开始进入变量数学时代。从此,欧洲以及20世纪的苏联、美国一直占据着世界数学研究的中心位置。
另一方面,在历史长河中,数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复,互为消长,并且交替成为数学发展的主流。从公元前2、3世纪至14世纪初,中国数学以极具东方色彩的算法特征取得了很好的发展。正是以中国数学为源头和重要组成部分的东方数学传到欧洲后,遇到了发掘出来的古希腊数学,二者的有机结合导致西方数学模式和数学家数学观的改变。他们开始重视数学计算,促使了几何问题的代数化,这些工作铸就了文艺复兴后欧洲数学的繁荣,并开辟了通向解析几何和微积分的道路。
段耀勇(1969年6月),男,汉族,山东济南人,理学博士,中国人民警察大学教授。2004年毕业于中科院自然科学史研究所并获理学博士学位,2007年晋升为教授,专业技术二级警监。参加国际、国内学术会议30次,发表60多篇学术论文。主持或参加了科技部、国家自然科学基金项目,教育部等项目共计30余项。本书得到了国家自然科学基金(项目编号:11701446)的资助。
第一章 中国古代开方算法前的替代算法:盈不足术
一、缘起:生活中开方的例子
二、中国古代开方算法前的替代算法:盈不足术
第二章 《九章算术》及刘徽注中的开方
一、《九章算术》与刘徽
二、开平方和开带从平方
三、开立方及中国开方算法的特点
第三章 开方术的发展(一):从开带从方到贾宪三角与立成释锁开方法
一、从《九章》到祖冲之和王孝通的开带从方
二、贾宪三角与立成释锁开方法
第四章 开方术的发展(二):增乘开方法即霍纳算法
一、贾宪的增乘开方
二、秦九韶对增乘开方法的发展:正负开方
第五章 珠算开方:具有中国特色的开方算法
一、算盘与珠算
二、珠算开方的产生和发展
三、明清数学家及其珠算开方举例
第六章 开方算法与高次方程根的讨论
一、一元方程只求一个正根
二、对高次方程的认识
第七章 基于开方术的高次方程多个根的解法
一、清朝数学家对高次方程多个根的认识
二、基于开方法的高次方程多个根的解法
第八章 从开方算法看中国古代数学的特征和意义
一、中国古代数学的特征
二、中国古代数学的地位和意义