本书是按照教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会制定的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》编写而成的。全书共分七章，主要内容包括行列式、矩阵的基本概念及其运算，矩阵的初等变换与初等矩阵，n维向量空间，线性方程组解的结构与求解方法，矩阵的特征值与特征向量，以及矩阵的对角化，二次型及其标准化，线性空间与线性变换等。在第二、三章，我们介绍了MATLAB软件与编程方法。书后附有课程实验与应用案例附录。在本书前六章的每一章中专门开辟了一节，介绍本章学科知识的实际应用。相信通过这些案例介绍，将加强不同数学学科之间的内在联系，阐述数学学科知识应用的广泛性。同时，通过这些实际应用性例子的介绍，能够拓展学生的学习思路，增强对线性代数课程的学习兴趣。在课程实验部分，设计了两个单元的MATLAB系列实验与练习。在附录中，给出了几个带有一定综合性的线性代数应用案例并讨论了其建模与编程求解方法。本书可作为高等院校理工科与经济管理类等专业线性代数课程的教材，也可作为工程技术人员的自学用书。
线性代数是大学数学教育中一门重要的基础课程，是理工科大学生学科知识结构中的一个重要环节。本书的编写是按照《工科类本科数学基础课程教学基本要求》来实施的。首先考虑到作为高等院校理工科与经济管理类等专业线性代数课程教材，课内学时一般在40学时左右，所以在编写过程中充分考虑到理工科大学生的知识基础要求，内容上以基本概念与基本方法为核心，力求做到重点突出,简明扼要，清晰易懂，便于教学。目前大学教育的一个重要任务就是对大学生创新思维与应用能力的培养。在计算机与互联网 时代，怎么有效地开展大学教育，尤其数学等基础学科的教育，似乎碰到了一些瓶颈问题：比如高等数学与线性代数等课程的知识有什么作用，尤其是它与当前一些最新的科技发展领域有什么样的联系？这些在数学基础课程教学中通常很难体现。已有的同类教材中有不少在理论体系的简洁性方面达到了一个非常高的水平，如果缩减课本中的任何内容，其逻辑体系就不完整，甚至影响到读者的理解。同时，从很多教材中我们也很难看到数学与不同学科之间，数学与专业学科之间存在哪些内在的知识联系，更不用说进一步了解该课程具有什么样的实际应用性。如果对课程知识的新颖性与实用性，对它与其它学科，尤其是与当前最新的科技发展领域的联系无法了解并有所感受，学生对该学科的学习兴趣就会大大降低。所以一本大学教材，特别是数学类的基础课教材，不应局限在以传授本学科的基本理论与方法作为其唯一目的，而应该力求以教材为载体，向学生传授最新的课程内外的知识。新知识的传授更要兼具对学生的创新思维与应用能力的培养。因此，本书的编写思想和目标是：不仅要包括本学科基础知识，同时也力求包含一定的学科外知识，尤其是应用性的知识；而且能够把教学基本目标与创新思维和应用能力培养 有机地结合在一起，形成一本有自身特色、对读者有一定启发性、带有新思想与新知识传授的一本教材。然而在本书编写中要去实现这些想法，编者确实也面临了很大的困难。为此在编写过程中，我们至少是从两个方面做出了努力与改革尝试。第一，介绍学科知识的广泛应用。在某个具体学科中，介绍一两个应用性例子，这往往是易于做到的。但是要介绍该学科中每个概念有什么应用意义与价值，它们与实际问题有什么联系，这对于数学课程来说通常是很难实现的。为了介绍线性代数学科知识的广泛应用性，我们在每一章中专门增加了一节来介绍本章概念与方法的应用。这些应用案例或者是跨学科的，或者是与某些科技应用领域相联系的。比如在第一章增加了行列式几何意义与应用举例一节。除了介绍二、三阶行列式的几何意义外，还讨论了多项式的结式以及怎么用结式行列式判断多项式方程根的类型与判别两个多项式是否有重根等问题。本节的探讨中，涉及高等数学学科中的向量运算与导数方程等知识，一定程度上体现了两个学科之间的联系。在第二章矩阵概念应用举例一节，我们介绍了二维图像增强，还讨论了一个空中交通线路问题。图像增强需要运用概率统计中的基本方法，而后者也可以推广到矩阵在图论应用中的一个著名案例，即哥尼斯堡七桥问题。在第三章中介绍了药方配制、种群基因间的距离以及保密通讯中的密码设计问题。在第四章中，介绍了化学方程式配平，电路网络分析与坐标测量。在第五章中探讨了生态系统的变化趋势，一阶常系数线性微分方程组求解与Fibonacci数列通项公式推导问题。在第六章则介绍了一类资金使用的优化问题，二次曲线和二次曲面的化简与类型判别，以及二次型在不等式证明与多元多项式因式分解方面应用的例子。通过这些来自于不同实际领域、不同学科背景下的若干应用案例介绍，我们试图向读者传播这样的思想：首先，不同的数学学科之间有着不可分割的内在联系；其次，数学学科知识的应用是无处不在的，其应用的广泛性是毋庸置疑的；同时，希望通过这些实际应用例子的介绍，能够拓展学生的学习思路，增强对线性代数课程的学习兴趣。在本书编写中我们也参考了一些国内外有影响、优秀的教材。经过比较权衡，最终采用了在每一章中单独增加一节来专门介绍本章知识的应用性这一模式。增加的应用举例一节带有*号，表明该节内容不一定要在课堂教学中全部讲解，也可以留作学生课外自学之用。这样既不影响受教学时数限制下的日常教学，同时又能使学生及时地获得学科应用知识与数学思想的渗透。第二，工程软件应用能力培养。为了把线性代数课程教学与学生能力的培养更紧密地结合起来，增强学生运用数学知识与数学软件的能力，在本书第二、三章，以循序渐进的方式，简要地介绍了工程数学软件MATLAB在线性代数运算方面的基本功能与编程实现方法，力求解决大学生中常见的学习、运用软件入门难的问题。在本书的每一个章节，如果所涉及的线性代数课程中的基本问题用单纯分析方法去解决（手工推导与计算）比较复杂与困难，我们就适时地介绍使用软件编程方法去解决问题的思想。尽力实现课程内容与软件使用方法的无缝连接，使学生感受到数学软件不是可有可无，或者只是起到一个锦上添花的作用，而是对传统分析方法必要的扩展与补充。MATLAB与很多流行软件一样，入门不易进阶更难。怎样使得学习者能达到软件使用与编程的更高水平，我们在书后增加了课程实验部分，不仅是对课程基础知识的巩固与提高，同时也会进一步加强学生运用MATLAB编程方法解决实际问题的能力。按照课程内容与问题的难易，实验部分又被分为两个小节，以便获得更好的递进学习效果。把数学实验的思想引入到数学基础课程教学中, 把课程教学、实验教学和应用性教学有机地结合在一起，逐步培养学生应用数学知识、运用计算机方法和使用已有的软件来解决实际问题的能力,这样的教学环节其重要性是毋庸置疑的。在书后的附录部分，我们进一步给出了几个带有一定的综合性与复杂性的应用案例。在这些案例中，将把数学知识运用、应用性问题系统求解与软件使用的水平推进到一个更高的层次。本书共分七章，外加课程实验与一个附录。前七章主要介绍了行列式、矩阵、n 维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间、线性变换的基本概念，以及行列式计算，矩阵运算，线性方程组求解，特征值与特征向量计算和二次型标准化方法等线性代数传统内容。在第二、三章末尾，简要介绍了工程数学软件MATLAB的基本功能与编程方法。在前六章的每一章中，专门增加了本章知识的应用案例介绍一节。在实验部分给出了两个单元的上机练习指导；在附录中，我们介绍了几个综合应用案例与MATLAB编程求解。对每章配备的习题，以及编程实验部分的自我练习，书后给出了部分习题参考答案或解答。本书是在原有同名教材基础上的一本新编教材。邵建峰、刘彬、王成、殷翔等参加了原教材的编写，后经多次的再版修订。这次再由邵建峰、刘彬对原教材做了系统和仔细的增删修改与审定工作，尤其在增强教材特色方面做了相当大的改变。施庆生、刘国庆，程浩老师对新版书编写提出了很多建议，石玮、鲁晓磊老师等审阅了部分书稿。本书的出版得到了南京工业大学教务处新教材建设立项支持和化学工业出版社的大力帮助。在此谨对在本书编写与出版过程中给予支持和帮助的有关部门表示感谢！由于时间仓促和编者水平所限,书中错漏之处难免存在,还望使用本书的老师与学生批评指正。编者2017年6月
第一章行列式1
第一节n阶行列式1
第二节n阶行列式的性质7
第三节行列式的计算11
第四节克莱姆(Cramer)法则15
第五节*行列式的几何意义与应用举例20
习题一25
第二章矩阵30
第一节矩阵的概念30
第二节矩阵的运算34
第三节可逆矩阵41
第四节分块矩阵47
第五节矩阵的初等变换与初等矩阵53
第六节方阵求逆·齐次线性方程组有非零解的判定58
第七节*矩阵概念应用举例63
第八节MATLAB软件简介71
习题二82
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩87
第一节n维向量87
第二节线性相关与线性无关88
第三节向量组的秩与等价向量组93
第四节矩阵的秩97
第五节矩阵的非零子式·等价标准形102
第六节n维向量空间104
第七节向量的内积与正交矩阵108
第八节*向量概念应用举例114
第九节MATLAB计算与编程初步122
习题三132
第四章线性方程组136
第一节齐次线性方程组136
第二节非齐次线性方程组143
第三节*线性方程组应用举例147
习题四152
第五章特征值与特征向量·矩阵的对角化155
第一节方阵的特征值与特征向量155
第二节相似矩阵和矩阵的对角化162
第三节实对称矩阵的对角化167
第四节*特征值与特征向量应用举例172
习题五176
第六章二次型179
第一节二次型及其矩阵表示179
第二节化二次型为标准形183
第三节惯性定理186
第四节正定二次型与正定矩阵190
第五节*二次型理论应用举例194
习题六201
第七章线性空间与线性变换204
第一节线性空间的定义与性质204
第二节线性空间的维数、基与坐标207
第三节基变换与坐标变换210
第四节欧氏空间214
第五节线性变换218
第六节线性变换的矩阵表示221
习题七225
课程实验228
实验一矩阵、行列式、方程组计算与应用问题228
实验二矩阵的特征值、特征向量计算与应用编程232
附录线性代数编程应用案例238
案例一投入产出模型238
案例二矛盾方程组求解与多项式曲线拟合241
案例三比赛排名问题244
案例四多元函数极值的判定与求法248
案例五种群的年龄结构模型250
部分习题参考答案255
实验练习解答与提示263
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