几十年来，数学的主要兴趣集中在与线性算子有关的问题上，以及将线性代数已知结果推广到无穷维情况。这极具远见灼识，而由此发展出来的丰富理论对整个数学科学都有深远的影响。在剔除线性这一假设条件时，有关的算子理论以及许多与这种理论有关的具体问题描绘出了数学研究的前景。迄今为止，在这方面已获得的基本结果构成了线性理论深刻而又完美的拓展。正如线性情况一样，这些结果源于数学分析中的具体问题，并与之密切相关。展现于此的这本讲义，其目的是系统地描述这些基本的非线性结果及其对各种来自数学分析不同领域的具体问题的应用。
此外，我在尽可能广泛的意义下使用“数学分析”这一术语，而这个用法遵循着Henri Poincare（我们这个学科的伟大先驱之一）的思想。事实上，仔细审视自然出现在实和复流形微分几何、经典的和现代的数学物理以及变分学的研究中特定的非线性问题，就能发现必然会导致深刻数学结果的那些反复出现的模型，
从抽象观点出发，主要有两种手段处理该课题，如上所述，第一种手段是将Fredholm，Hilbert，Riesz，Banach和von Neu-mann等人线性泛函分析的特定结果推广到更一般的非线性情况。第二种手段是视该学科为流形及流形间映射的无穷维微分几何学。显然，这些手段密切相关，而当它们与现代拓扑结合在一起使用时，就成了强有力的数学思维模式。
最后，在上述两种手段之外，还存在着真正适合既是非线性的又是无穷维的现象，能认清这些事实的那个框架仍在发展中。
本书的内容分为三个部分来讲述，而每一部分均含两章。第一部分首先涉及到研究的动因和理解本书后面展开的内容所必需的数学预备知识，其后提供非线性算子基本的微积分内容并对其分类。第二部分涉及到局部分析。在第三章，我们讨论经典反函数定理和隐函数定理的各种无穷维推广。同时，为了研究算子方程，也讨论了Newton法，最速下降法和强函数法。第四章，我们将注意力转向与分歧和奇异扰动问题有关的那些依赖于参数的扰动现象，这一章中，拓扑（“超越”）方法的应用是它首次成功的亮相，这本书的第三部分和最后部分讲述了大范围分析，并指出了将具体分析与超越方法相结合的必要性。第五章发展了可用于一般算子类的全局性方法，特别是讨论了映射度的各种理论和应用及其与球面高阶同伦群有关的最新进展，还讨论了线性化方法和投影法，第六章讲述大范围变分学及其在现代临界点理论中的最新进展，这个材料很自然地来自与临界点有关的极小化问题和等周问题。
本书的一个主要课题是将得到的抽象结果用于解决几何与物理中引人人胜的问题。书中提到的应用是这样选择的：既考虑其内在意义，也考虑它们与本书中提到的抽象内容的关系。在很多情况下，特定的例子需要理论的推广，从而为进一步的发展提供动力，我们希望，提到的那些较深刻较复杂的应用将能提高这门快速发展的学科的价值及意义。
此外，我们选取一些非线性问题作为抽象的模型。这包括
（i）确定非线性常微分方程组的周期解；
（ii）各种半线性椭圆型偏微分方程的Dirichlet问题；
（iii）在给定的紧流形上，确定“最简”度量的微分几何问题（在这里，“最简”是指常曲率）；
（iv）非线性弹性vonKarman方程的解结构。
所有这些模型说明，需要发展新的理论和需要更精妙敏锐的研究方法。此外，这些问题的经典的性质表明，对于不太经典的非线性问题抽象本质的研究来说，有着广阔领域。
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