《复变函数》主要讲述单复变函数的基本理论,包括复数与复变函数,解析函数,复变函数的积分理论、级数理论、留数理论和几何理论.《复变函数》注重本科生的教学,也注重复变函数对于科学研究的应用.对于本科生,内容不会过深过难,更适用于大多数院校的本科教学.
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目录
前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数及其运算 1
1.1.1 复数及其代数运算 1
1.1.2 复数的几何表示 3
1.1.3 复数的幂与方根 7
1.2 复平面上的点集 10
1.3 复变函数 13
1.3.1 复变函数的定义 13
1.3.2 三个特殊的映射 13
1.3.3 复变函数的极限与连续性 15
习题1 17
第2章 解析函数 20
2.1 解析函数基础 20
2.1.1 导数与微分 20
2.1.2 解析函数的概念 22
2.1.3 Cauchy-Riemann 条件 23
2.2 初等函数 27
2.2.1 指数函数 28
2.2.2 对数函数 29
2.2.3 幂函数 31
2.2.4 三角函数 31
2.2.5 反三角函数 33
2.2.6 支点 34
习题2 37
第3章 复变函数的积分理论 40
3.1 复变函数的积分 40
3.1.1 积分的定义 40
3.1.2 积分存在的充分条件及积分的计算方法 41
3.1.3 积分的性质 45
3.2 Cauchy定理及其应用 46
3.2.1 Cauchy定理 46
3.2.2 Cauchy定理的推广 51
3.2.3 原函数与不定积分 52
3.3 Cauchy积分公式及其应用 55
3.3.1 Cauchy积分公式 55
3.3.2 高阶导数公式 56
3.3.3 解析函数的一些性质 59
3.4 调和函数 64
3.4.1 调和函数的概念 64
3.4.2 调和函数的性质 67
习题3 69
第4章 复变函数的级数理论 72
4.1 一般理论 72
4.1.1 复数项级数 72
4.1.2 复变函数项级数 77
4.1.3 幂级数 80
4.2 Taylor级数 84
4.2.1 解析函数的Taylor展开式 84
4.2.2 零点 90
4.2.3 解析函数的唯一性 91
4.3 Laurent级数 92
4.3.1 解析函数的Laurent展开式 92
4.3.2 孤立奇点 97
4.3.3 解析函数在无穷远点的性质 102
4.3.4 整函数与亚纯函数 104
习题4 106
第5章 复变函数的留数理论 109
5.1 留数定理及其推广 109
5.1.1 留数的定义 109
5.1.2 留数定理 110
5.1.3 留数的计算方法 111
5.1.4 无穷远点的留数 117
5.2 留数在积分计算中的应用 118
5.2.1 形如*R(cosθ，sinθ)dθ的积分 118
5.2.2 形如*R(x)dx的积分 121
5.2.3 形如*R(x)e*dx(a>0)的积分 124
5.3 辐角原理与Rouche定理 129
5.3.1 辐角原理 129
5.3.2 Rouche定理 132
习题5 133
第6章 复变函数的几何理论 137
6.1 共形映射 137
6.1.1 单叶解析函数的性质 137
6.1.2 解析函数的导数及其几何意义 140
6.1.3 共形映射的概念 142
6.2 分式线性映射 143
6.2.1 分式线性映射的概念 143
6.2.2 共形性 145
6.2.3 保圆性 147
6.2.4 保交比性 148
6.2.5 保对称性 150
6.2.6 两个特殊的分式线性映射 151
6.3 Riemann定理 153
6.3.1 大模原理 153
6.3.2 Schwarz引理 154
6.3.3 Riemann定理与边界对应定理 154
6.4 解析开拓 157
6.4.1 解析开拓的概念 157
6.4.2 解析开拓的方法 158
习题6 163
参考文献 166
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