《江苏省专转本考试考前押密试卷·高等数学》共包含10套考前押密试卷, 每一套卷每一题均由中公教育江苏专转本考试研究院经过精心打磨研发而成。8套试卷严格按照最新真题及考试要求全新研发, 题型、题量及试题难易程度均与历年真题保持一致。同时试卷严格按照真题的版式编排, 让考生提前体验考场考试的感觉, 以达到具备真正进入考场时能够迅速进入考试状态的能力。8套试卷在深入研究历年真题的基础上, 总结历年真题中的高频考点, 并根据重要知识点出题, 突出命题重点, 避免浪费考生宝贵的复习时间, 以使考生在短期内尽快温习以及回顾。
江苏省普通高等教育专转本考试
高等数学考前押密试卷(一)考试科目高等数学
考生姓名
考生编号
报考单位注
意
事
项1答题前,考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上,并在答题卡上填(涂)对应的信息。
2所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。
3考试结束后,将试题和答题卡一并交回。
高等数学考前押密试卷(一)第页(共12页)江苏省普通高等教育专转本考试
高等数学考前押密试卷(一)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知limx→2x2+ax+bx2-x-2=2,则必有()
A a=2,b=8B a=2,b=5
C a=0,b=-8D a=2,b=-8
2当x→0时,下列四个无穷小量中,阶数高的是()
A x-sinxB 1-cosx2
C 1-x2-1D tanx-sinx
3已知函数f(x)在点x=1处连续,且limx→1f(x)x2-1=12,则f′(1)=()
A 2B -2
C 1D -1
4设可导函数F(x)满足F′(x)=f(x),且C为任意常数,则()
A ∫F′(x)dx=f(x)+CB ∫f(x)dx=F(x)+C
C ∫F(x)dx=F(x)+CD ∫f′(x)dx=F(x)+C
5积分区域D由圆x2+y2=2x所围成,则Df(x2+y2)dσ=()
A ∫π0dθ∫2cosθ0f(r)drB ∫π0dθ∫2cosθ0f(r)rdr
C ∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)rdrD ∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)dr
6设un=1npsinπn,要使级数∑∞n=1(-1)nun绝对收敛,则常数p的取值范围是()
A p>-1B p>0
C p≥0D p≥-1
7设A为三阶矩阵,且A=2,A*为A的伴随矩阵,则A*=()
A 14B 1
C 2D 4
8设D1=a1b1c1a2b2c2a3b3c3=m≠0,则D2=a32b3-a33c3-2b3a22b2-a23c2-2b2a12b1-a13c1-2b1=()
A 6mB -6m
C 0D 12m
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)9要使f(x)=2+x2-x1x在点x=0处连续,则应补充定义f(0)=。
10已知y=(1+x2)sinx,则y′=。
11已知f(x)=e2x-1,则f(2023)(0)=。
12设反常积分∫+∞a1xln2xdx=1,其中a>1,则常数a=。
13设幂级数∑∞n=1an(x+2)n的收敛区间为(-4,0),则幂级数∑∞n=1an(x-1)n2n的收敛区间为。
14若向量β=(1,2,k)可由向量组α1=(-1,2,7),α2=(2,1,1),α3=(1,-1,-4)线性表示,则k=。
三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)15求极限limx→0∫x0(t-arcsint)dtx2ln(1+x2)。
16求不定积分∫lnx(1-x)2dx。
17求定积分∫1-1(x2-x)1-x2dx。
18设z=z(x,y)是由方程x+2y+z-2xyz=0所确定的函数。求dz(0,1)。
19求微分方程y″+10y′+25y=2e-5x的通解。
20求二重积分I=Dxydxdy,其中D是由y=x,y=x-x2及x=1所围成的闭区域。
21矩阵A=11002321-1,B=1233-21-2-52满足方程XA=B,求矩阵X。
22已知线性方程组λx1+x2+x3=0,x1+2λx2+x3=0,x1+x2+x3=0有非零解。求λ的值,并求出方程组的所有非零解。
四、证明题(本大题共1小题,共10分)23证明:当0 五、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24已知函数f(x)=ax2+b(1-x)2在点x=0处取得极值,且有水平渐近线y=2。试求:
(1)常数a,b的值;
(2)曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点。
25设曲线y=f(x)上任一点(x,y)处的切线斜率为yx+x2,且该曲线经过点1,12,由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0所围成的平面图形记为D。试求:
(1)函数y=f(x)的表达式;
(2)平面图形D的面积S;
(3)平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V。
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高等数学考前押密试卷(一)参考答案及解析
一、单项选择题
1【答案】D
【解析】因为limx→2x2+ax+bx2-x-2=2,所以limx→2(x2+ax+b)=0,从而有4+2a+b=0,又
limx→2x2+ax+bx2-x-2=limx→22x+a2x-1=2,
可得4+a=6,解得a=2,b=-8。故选D。
2【答案】B
【解析】当x→0时,
x-sinx~16x3,1-cosx2~12x4,1-x2-1~-12x2,
tanx-sinx=tanx(1-cosx)~x·x22=x32,
阶数高的是1-cosx2。故选B。
3【答案】C
【解析】函数f(x)在x=1处连续,且limx→1f(x)x2-1=12,故limx→1f(x)=f(1)=0,因此题干等式可化为limx→1f(x)-f(1)(x+1)(x-1)=12,即
limx→1f(x)-f(1)x-1=1=f′(1),
则f′(1)=1。故选C。
4【答案】B
【解析】由F′(x)=f(x)可知, f(x)的一个原函数为F(x),故
∫f(x)dx=F(x)+C。
故选B。
5【答案】C
【解析】令x=rcosθ,y=rsinθ,积分区域D如图所示,可表示为
0≤r≤2cosθ,-π2≤θ≤π2,
于是
Df(x2+y2)dσ=∫π2-π2dθ∫2cosθ0f(r)rdr。
故选C。
6【答案】B
【解析】根据已知,
(-1)nun=un=1npsinπn,
当n→∞时,sinπn~πn,即un~πnp+1,而级数∑∞n=1πnp+1当p>0时收敛,从而p>0时级数∑∞n=1(-1)nun绝对收敛。故选B。
7【答案】D
【解析】由AA=AE得,
AA=AA=An,
故A=An-1=A2=4。
8【答案】B
【解析】根据行列式的性质,
D2=a32b33c3-2b3a22b23c2-2b2a12b13c1-2b1=a32b33c3a22b23c2a12b13c1
=6a3b3c3a2b2c2a1b1c1=-6a1b1c1a2b2c2a3b3c3=-6m。
故选B。
二、填空题
9【答案】e
【解析】由函数连续的定义,
f(0)=limx→02+x2-x1x=limx→01+2x2-x1x
=limx→01+2x2-x2-x2x·22-x=elimx→022-x=e。
10【答案】(1+x2)sinxcosxln(1+x2)+2xsinx1+x2
【解析】函数两边同时取对数
lny=sinxln(1+x2),
两边对x求导得
y′y=cosxln(1+x2)+sinx·2x1+x2,
将y=(1+x2)sinx代入可得
y′=(1+x2)sinxcosxln(1+x2)+2xsinx1+x2。
11【答案】22023e-1
【解析】f′(x)=2e2x-1, f″(x)=22e2x-1, f(x)=23e2x-1,…, f(n)(x)=2ne2x-1,故
f(2023)(0)=22023e-1。
12【答案】e
【解析】根据类换元积分法,
∫+∞a1xln2xdx=∫+∞a1ln2xdlnx=-1lnx+∞a=1lna=1,
解得a=e。
13【答案】(-3,5)
【解析】由题意知,幂级数∑∞n=1an(x+2)n的收敛半径为R=limn→∞anan+1=2,于是
R′=limn→∞an2nan+12n+1=2limn→∞anan+1=4,
故-4 14【答案】5
【解析】由题意可知β=x1α1+x2α2+x3α3,则
-x1+2x2+x3=1,2x1+x2-x3=2,7x1+x2-4x3=k,
对增广矩阵进行初等行变换得
-121121-1271-4k→1-2-1-10514000k-5,
该方程组有解,则k-5=0,即k=5。
三、计算题
15【解析】由等价无穷小替换及洛必达法则可得,
limx→0∫x0(t-arcsint)dtx2ln(1+x2)=limx→0∫x0(t-arcsint)dtx4=limx→0x-arcsinx4x3=limx→01-11-x212x2=limx→01-x2-112x2·1-x2=limx→0-112(1-x2+1)=-124。
16【解析】根据分部积分法,
∫lnx(1-x)2dx=∫lnx·d11-x=lnx1-x-∫11-x·1xdx
=lnx1-x-∫1x+11-xdx
=lnx1-x-lnx+ln1-x+C
=xlnx1-x+ln1-x+C。
17【解析】因为x21-x2是偶函数,x1-x2是奇函数,所以,
∫1-1x21-x2dx=2∫10x21-x2dx,∫1-1x1-x2dx=0,
∫1-1(x2-x)1-x2dx=∫1-1x21-x2dx-∫1-1x1-x2dx=2∫10x21-x2dx,
令x=sint,则dx=costdt。当x=0时,t=0;当x=1时,t=π2。故
∫1-1(x2-x)1-x2dx=2∫π20sin2tcost·costdt
=12∫π20sin22tdt=14∫π20(1-cos4t)dt
=14t-14sin4tπ20=π8。
18【解析】方法一:当x=0,y=1时,z=-2。
令F(x,y,z)=x+2y+z-2xyz,则
F′x=1-2yz,F′y=2-2xz,F′z=1-2xy,
从而
zx=-F′xF′z=-1-2yz1-2xy,zx(0,1)=-5,
zy=-F′yF′z=-2-2xz1-2xy,zy(0,1)=-2,
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
方法二:当x=0,y=1时,z=-2。
方程两边同时对x求偏导可得,
1+zx-2yz-2xyzx=0,
解得zx=1-2yz2xy-1,zx(0,1)=-5;
方程两边同时对y求偏导可得,
2+zy-2xz-2xyzy=0,
解得zy=2-2xz2xy-1,zy(0,1)=-2。
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
方法三:当x=0,y=1时,z=-2。
方程两边同时进行微分如下,
dx+2dy+dz-2xydz-2xzdy-2yzdx=0,
整理可得
(1-2yz)dx+(2-2xz)dy=(2xy-1)dz,
则dz=1-2yz2xy-1dx+2-2xz2xy-1dy,
故dz(0,1)=-5dx-2dy。
19【解析】对应的齐次方程的特征方程为r2+10r+25=0,解得特征根为r1=r2=-5,对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-5x。
设特解为y*(x)=Ax2e-5x,其中A为待定常数,代入方程解得A=1,所以y*(x)=x2e-5x。故原方程的通解为
y=(C1+C2x)e-5x+x2e-5x,其中C1,C2为任意常数。
20【解析】如图所示,积分区域D用不等式表示为0≤x≤1,x-x2≤y≤x,因此
I=∫10dx∫xx-x2xydy=12∫10x3dx=18x410=18。
21【解析】A=11002321-1=1≠0,所以矩阵A可逆,且A-1=-5136-1-3-412,由XA=B得
X=BA-1=1233-21-2-52-5136-1-3-412=-523-31617-28513。
22【解析】原方程组有非零解,所以系数矩阵行列式
D=λ1112λ1111=(λ-1)(2λ-1)=0,
解得λ=1或λ=12。
当λ=1时,对系数矩阵进行初等行变换
A=111121111→101010000,
同解方程组为x1=-x3,x2=0,令x3=k,此时方程组的所有非零解为x=k-101,其中k为任意非零常数。
当λ=12时,对系数矩阵进行初等行变换
A=1211111111→100011000,
同解方程组为x1=0,x2=-x3,令x3=k,此时方程组的所有非零解为x=k0-11,其中k为任意非零常数。
四、证明题
23【证明】令f(x)=