线性与非线性有限元原理与方法_刘波，刘翠云编著_9787512442597

本书是作者结合多年计算固体力学的教学、科研以及软件开发工作,撰写的一本既全面涵盖计算固体力学主要基础知识和理论,又具有一定的深度、实用性和创新性的著作。全书内容分为八个部分:固体力学中的一般问题及非线性;伽辽金逼近:不可约形式和混合形式;桁架和梁的有限元分析;二维和三维实体的有限元分析;板和实体壳的有限元分析;笛卡尔张量;弹塑性问题的有限元分析;几何非线性问题的有限元分析。

本书可作为高等院校计算固体力学及相关专业的研究生的教材,也可以作为计算固体力学及相关领域的学者和工程技术人员的参考书。

计算固体力学贯穿固体力学学科的各个分支领域,根据固体力学中的具体理论,利用现代电子计算机和各种数值方法,解决固体力学中的实际问题,在现代制造工业、国防科技和武器装备研发的结构强度分析中扮演着重要角色。计算固体力学的基础是有限元方法,具体又分为线性有限元和非线性有限元。目前计算固体力学领域的教材偏基础,主要讲线性有限元;而非线性有限元方面的著作则基础知识讲解不多。因此,作者结合多年的教学、科研和软件开发工作,尝试撰写一本既基础又实用、全面的计算固体力学著作。本书包含了许多国际上近20多年的最新研究成果,以及作者近10多年的相关研究成果。
计算力学软件是研发设计类工业软件的重要组成部分,开发计算力学软件的理论基础便是有限元方法。与国际计算力学软件相比,我国计算力学软件的发展规模及水平有很大的差距,在整体功能与性能上还无法与国外同类先进产品竞争。不但重大工业项目中的工程力学计算几乎全靠国外软件,甚至一般中小设计院的工程力学计算也被国外程序所垄断。作者近10多年来一直致力于自主知识产权计算力学软件开发,本书正是作者在这方面探索的部分总结。
本书共分为8章,包括:
第1章是固体力学中的一般问题及非线性,详细总结了建立固体和结构力学问题的有限元方程的主要原则,以及求解一般小应变固体力学问题所需的基本步骤。公式以偏微分方程的强形式和积分表示的弱形式呈现,还对变分原理作了较详细的介绍,指出了一些问题如何变成非线性的。本章内容概括性比较强,建议初学者只理解其中的基本概念,而不必对方程进行太多深究;在阅读后续章节后再次回顾本章,这样就能充分理解本章内容。
第2章是伽辽金逼近:不可约形式和混合形式,介绍了如何使用弱形式来构造基于有限元方法的近似解,由此会得到众所周知的伽辽金方法。假设读者不熟悉小变形线性问题的有限元方法,因此介绍了求解瞬态问题的基本步骤的完整过程、非线性代数方程组的求解,考虑了不可约形式和混合形式两种近似方法。在本章结束时,给出了基于非线性拟调和方程的热分析算例。
第3章是桁架和梁的有限元分析,首先介绍了桁架(杆)单元、扭轴单元、梁弯曲单元和剪切梁弯曲单元的能量泛函,然后介绍了用于桁架和梁的h 和p 型有限元。桁架或梁是两个最简单和最广泛使用的结构元件或组件,二者对应的有限元公式是两个典型的一维有限元,因此介绍较为详细并给出了多个例子。
第4章是二维和三维实体的有限元分析,二者都是C0 单元,因此具有一定程度的相似性。本章详细讨论了线性和高阶三角形单元,因为这些流程是构建其他二维和三维单元的基础。在此基础上介绍了线性和高阶四边形、四面体、三棱柱、六面体、金字塔单元。四边形和六面体单元简单、精确、高效,但几何表示能力不如三角形和四面体等单元。
第5章是板和实体壳的有限元分析,包括薄板单元、厚板单元和三维退化壳单元。本章给出了基于升阶谱有限元法的薄板协调单元,低阶单元是其特殊形式。厚板单元与平面问题非常相似,因此主要讨论了减缩积分、混合方法和升阶谱求积元法。三维退化壳单元在板问题中与厚板单元几乎完全相同,对于一般曲壳仍然存在类似的类比。
第6章是笛卡尔张量,包括坐标轴的旋转、笛卡尔张量、伪张量、张量代数、二阶和高阶笛卡尔张量在物理和工程中的应用。
第7章是弹塑性问题的有限元分析,包括一维和多维弹塑性,并基于J2 流动理论和升阶谱求积元法分析了二维和三维弹塑性问题。
第8章是几何非线性问题的有限元分析,首先介绍了有限变形固体力学中使用的基本运动学关系,然后介绍了有限变形的变分描述、民德林(Mindlin)板壳的升阶谱求积元分析,最后给出了基于升阶谱求积元法的二维、三维问题及板壳问题的算例。
为了使本书既全面涵盖主要基础知识和理论,又具有一定的深度、实用性和创新性,在本书撰写过程中参阅了大量经典教材、专著和最新研究成果,并包含了许多自研成果,具体如下:
第1章固体力学中的一般问题及非线性主要参阅了 Zienkiewicz等于2014年出版的TheFiniteElementMethodforSolidandStructuralMechanics;GRLiu和 SSQuek于2003年出版的TheFiniteElementMethod:APracticalCourse。
第2章伽辽金逼近:不可约形式和混合形式主要参阅了 Zienkiewicz等于2014年出版的TheFiniteElementMethodforSolidandStructuralMechanics。
第3章桁架和梁的有限元分析主要参阅了 GRLiu和 SSQuek于2003年出版的 TheFiniteElementMethod:A PracticalCourse;M Petyt于 2010 年出版的 IntroductiontoFiniteElementVibrationAnalysis。
第4章二维和三维固体的有限元分析主要参阅了刘波等于2019年出版的《微分求积升阶谱有限元方法》;刘波等于2021年出版的 A DifferentialQuadratureHierarchicalFiniteElementMethod;GR Liu 和 SS Quek 于 2003 年出版的 TheFiniteElement Method:A
PracticalCourse。
第5章板和实体壳的有限元分析主要参阅了 Zienkiewicz等于2013年出版的TheFi niteElementMethod:ItsBasisandFundamentals;刘波等于2021年出版的 A DifferentialQuadratureHierarchicalFiniteElementMethod。
第6章笛卡尔张量主要参阅了 H Shima和 T Nakayama于 2010 年出版的 HigherMathematicsforPhysicsandEngineering。
第7章弹塑性问题的有限元分析主要参考了 NH Kim 于2015年出版的IntroductiontoNonlinearFiniteElementAnalysis;作者的研究生宋佳佳的学位论文。
第8章几何非线性问题的有限元分析主要参阅了 RBorst等于2012年出版的 Non linearFiniteElementAnalysisofSolidsandStructures;作者的研究生石涛的学位论文。
本书前5章内容是计算固体力学中最基本的基础知识,涵盖了线性有限元法的主要基础知识,与大多数相关著作相比增加了升阶谱求积元法、金字塔单元、三维退化壳单元等内容;第7、8章内容是作者近些年一直从事的相关研究工作基础知识的一个比较系统的总结。全书除第1~3章、第6章的基础知识外,贯穿了作者近些年在升阶谱求积元法方面的自研成果。本书可作为计算固体力学及相关领域的学者和工程技术人员的参考书,也可作为计算固体力学领域的研究生教材使用。由于作者多年来一直从事计算力学软件开发的工作,本书也是这方面理论知识的比较系统的总结,因此对相关学者也有重要参考价值。
本书的最终完成需要特别感谢邢誉峰教授的推动。研究生蓝迎莹、谢盼、许派、石涛、宋佳佳、郭茂等参与了本书初稿的准备等工作,作者对本书作了多遍增删、校正和修改。在此也特别感谢国家自然科学基金(项目批准号:11972004,12002018,11772031,11402015)的经费资助。
本书从开始撰写到最终完稿历时5年多,并作为研究生课程讲义已讲授多遍,全书不断修改完善、力求内容正确无误,限于作者的水平和时间,书中难免有不妥之处,恳请读者指正。
刘波
2023年8月15日

第1章固体力学中的一般问题及非线性 1
1.1 小变形固体力学问题 3
1.1.1 强形式方程:指标表示形式 3
1.1.2 矩阵表示形式 5
1.1.3 二维问题 7
1.2 变分法及非线性弹性问题的变分形式 9
1.2.1 高斯格林(Gauss Green)定理 9
1.2.2 高斯(Gauss)散度定理 10
1.2.3 格林(Green)第二恒等式 11
1.2.4 积分定理 12
1.2.5 伴随算子 13
1.2.6 变分法与欧拉拉格朗日方程 14
1.2.7 非线性弹性问题的变分形式 18
1.3 控制方程的弱形式 19
1.3.1 平衡方程的弱形式 20
1.3.2 强弱形式的关系 21
1.4 有限元流程 21
1.4.1 域的离散化 21
1.4.2 位移插值 22
1.4.3 构造形函数的标准流程 23
1.4.4 形函数的性质 26
1.4.5 局部坐标系下的有限元方程 32
1.4.6 坐标变换 33
1.4.7 全局有限元方程的组装 34
1.4.8 位移约束施加 34
1.4.9 求解全局有限元方程 34
1.5 本章小结 34
第2章伽辽金逼近:不可约形式和混合形式 35
2.1 有限元逼近:伽辽金(Galerkin)方法 35
2.1.1 位移近似 36
2.1.2 导数 37
2.1.3 应变位移方程 37
2.1.4 弱形式 38
2.1.5 不可约位移法 39
2.2 数值积分 39
2.2.1 体积积分 40
2.2.2 曲面积分 41
2.3 非线性瞬态和稳态问题 41
2.3.1 显式纽马克(Newmark)方法 42
2.3.2 隐式纽马克(Newmark)方法 42
2.3.3 广义中点隐式纽马克(Newmark)方法 44
2.4 非线性代数方程组的求解 44
2.4.1 概述 46
2.4.2 牛顿法 46
2.4.3 修正牛顿法 47
2.4.4 增量割线法或拟牛顿法 48
2.4.5 线搜索算法:加速收敛 50
2.4.6 软化行为和位移控制 51
2.4.7 收敛准则 52
2.4.8 一般讨论:增量法和率方法 54
2.5 边界条件:非线性问题 54
2.5.1 位移边界条件 55
2.5.2 牵引力边界条件 57
2.5.3 位移/牵引力混合边界条件 57
2.6 混合方法或不可约形式 58
2.6.1 应力与应变的偏分量和平均分量 58
2.6.2 针对一般本构模型的三变量混合方法 59
2.6.3 p 和ϑ 的局部近似 60
2.6.4 连续u p 逼近 62
2.7 非线性拟协调场问题 63
2.8 本章小结 65
第3章桁架和梁的有限元分析 66
3.1 单元能量泛函 66
3.1.1 杆(轴向)单元 67
3.1.2 扭轴单元 68
3.1.3 梁弯曲单元 70
3.1.4 剪切梁弯曲单元 72
3.2 桁架有限元 73
3.2.1 形函数构造 73
3.2.2 应变矩阵 75
3.2.3 局部坐标系中的单元矩阵 75
3.2.4 全局坐标系中的单元矩阵 76
3.2.5 边界条件 79
3.2.6 应力和应变计算 79
3.2.7 计算示例 79
3.2.8 高阶一维单元 87
3.3 梁有限元 94
3.3.1 形函数构造 94
3.3.2 应变矩阵 96
3.3.3 局部坐标系中的单元矩阵 96
3.3.4 梁单元矩阵的坐标变换 97
3.3.5 计算示例 97
3.3.6 升阶谱有限元法 100
3.4 本章小结 103
第4章二维和三维实体的有限元分析 104
4.1 单元能量泛函 104
4.1.1 平面应力/应变单元 104
4.1.2 三维实体单元 107
4.2 二维实体有限元法 108
4.2.1 线性三角形单元 109
4.2.2 线性矩形单元 117
4.2.3 线性四边形单元 122
4.2.4 高阶三角形单元 125
4.2.5 高阶四边形单元 136
4.3 三维实体有限元法 142
4.3.1 形函数构造 142
4.3.2 应变矩阵 154
4.3.3 单元矩阵 155
4.3.4 三维振动分析 155
4.4 关于高斯积分的讨论 158
4.5 本章小结 159
第5章板和实体壳的有限元分析 160
5.1 单元能量泛函 161
5.1.1 薄板弯曲单元 161
5.1.2 厚板弯曲单元 164
5.1.3 深壳单元 168
5.2 薄板有限元 172
5.2.1 有限元逼近 172
5.2.2 形函数的连续性要求(C
1 连续性) 173
5.2.3 分片测试:解析要求 175
5.2.4 四边形单元 176
5.2.5 三角形单元 180
5.2.6 形函数转换 184
5.2.7 有限元离散 188
5.2.8 薄板弯曲 190
5.3 厚板有限元 193
5.3.1 不可约形式:减缩积分 193
5.3.2 厚板的混合形式 195
5.3.3 高阶单元 197
5.4 三维退化壳单元 200
5.4.1 单元的几何定义 201
5.4.2 位移场 202
5.4.3 应变和应力的定义 204
5.4.4 单元属性和必要的转换 205
5.4.5 关于应力表示的一些讨论 206
5.4.6 轴对称厚壳的特殊情况 207
5.4.7 厚板的特殊情况 208
5.5 本章小结 209
第6章笛卡尔张量 210
6.1 坐标轴的旋转 210
6.1.1 张量和坐标变换 210
6.1.2 求和约定 210
6.1.3 笛卡尔坐标系 211
6.1.4 坐标轴的旋转 211
6.1.5 变换系数的正交关系 212
6.1.6 变换系数的矩阵表示 213
6.1.7 矩阵的行列式 213
6.2 笛卡尔张量 215
6.2.1 笛卡尔向量 215
6.2.2 笛卡尔向量与几何矢量 215
6.2.3 笛卡尔张量 215
6.2.4 标量 216
6.3 伪张量 216
6.3.1 非正常旋转 216
6.3.2 伪向量 217
6.3.3 伪张量 218
6.3.4 列维齐维塔(Levi Civita)符号 219
6.4 张量代数 219
6.4.1 加法和减法 219
6.4.2 缩并 220
6.4.3 外积和内积 220
6.4.4 对称和反对称张量 222
6.4.5 反对称二阶张量与伪向量的等价性 223
6.4.6 商定理 224
6.4.7 双下标量的商定理 225
6.5 在物理中的应用 226
6.5.1 惯性张量 226
6.5.2 弹性张量 227
第7章弹塑性问题的有限元分析 228
7.1 一维弹塑性问题 229
7.1.1 弹塑性材料行为 229
7.1.2 弹塑性有限元格式 232
7.1.3 应力状态的确定 234
7.2 多维弹塑性问题 239
7.2.1 屈服函数和屈服准则 240
7.2.2 冯米塞斯(VonMises)屈服准则 243
7.2.3 硬化模型 244
7.2.4 经典弹塑性模型 246
7.2.5 数值积分 251
7.2.6 弹塑性的计算实现 256
7.2.7 升阶谱求积元法 264
7.2.8 本节小结 267
7.3 升阶谱求积元法求解弹塑性问题 267
7.3.1 概述 267
7.3.2 受内压厚壁圆筒 268
7.3.3 受均布载荷带孔薄板 274
7.3.4 受均布载荷带孔厚板 277
7.3.5 本节小结 280
7.4 本章小结 281
第8章几何非线性问题的有限元分析 282
8.1 应力和应变的度量 282
8.2 连续体几何非线性有限元列式 287
8.3 明德林(Mindlin)浅壳升阶谱求积元分析 291
8.3.1 明德林(Mindlin)浅壳理论 291
8.3.2 明德林(Mindlin)浅壳升阶谱求积元列式 295
8.4 几何非线性分析的数值算例 297
8.4.1 二维悬臂梁结构升阶谱求积元几何非线性分析 297
8.4.2 三维结构升阶谱求积元几何非线性分析 300
8.4.3 明德林(Mindlin)浅壳结构升阶谱求积元几何非线性分析 305
8.5 本章小结 307
参考文献 309

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