从零开始读懂微积分_唐舜著_9787301350676

本书通过一系列重要的数学地标，系统地梳理了微积分理论，既包含课堂上没讲授的数学通识内容，又包含对一些复杂知识点的细致拆解，还包含微积分在现实生活中的应用，帮助读者开阔数学视野、提高数学思维、加深对数学的理解。全书共分为四篇：第一篇“数学通识，一些你应该了解的观点和事实”为读者构建数学学习的理念和方法；第二篇“从有限到无穷，初等数学与高等数学的分水岭”解释高等数学何以称为高等？大学数学内容与中学数学内容相比是否存在一个明确的分水岭？为微积分的引入做好铺垫；第三篇“从局部到整体，微积分的华彩乐章”是全书核心，借助“局部—整体原则”讨论函数极限、连续性、无穷小及其比较、导数与微分、微积分基本定理、多元函数微积分等；第四篇“以简单代复杂，微积分的实践之路”包括泰勒展开、傅里叶展开、最小作用量原理，以及极值问题在数学、工程学、人工智能等领域的应用。

目　录第1章天赋还是勤奋 1.1　没什么特别的人类 1.2　难以测量的直觉第2章想象力是最大的武器 2.1　哥贝克力石阵 2.2　规天矩地 2.3　数字崇拜第3章数字背后的逻辑 3.1　谁更有钱 3.2　一一映射 3.3　快速计算比赛场次 3.4　汉字简化 3.5　基数与序数第4章区分抽象与还原 4.1　抽象的数学处理 4.2　生动的数学还原 4.3　抽象与还原之争第5章文明的进步 5.1　古巴比伦数字 5.2　古埃及数字 5.3　古代中国的算筹 5.4　印度人的贡献 5.5　一场生物学制造的意外第6章背离经验的科学 6.1　相对论的拼图 6.2　缺损棋盘问题 6.3　失效的经验第7章数学应该怎样学（I） 7.1　逻辑感 7.2　一道解三角形题的本质 7.3　计算三角函数值的标准做法 7.4　“三段式”论证 7.5　你知道有几只病狗吗第8章数学应该怎样学（II） 8.1　结构感知力 8.2　回归求知的本心第9章史上最大的“逻辑漏洞” 9.1　真相是什么 9.2　阿基米德的证明 9.3　数学走上神坛第10章无穷的困境 10.1　芝诺悖论 10.2　阿基里斯与乌龟 10.3　飞矢不动 10.4　理性与感观第11章第一次尝试 11.1　伽利略的悖论 11.2　抽象与演绎的冲突 11.3　伽利略的选择第12章无法回避的难题 12.1　封闭的疆域 12.2　几何能做的也有限 12.3　数学界的思想解放第13章探寻之路 13.1　实数的模型 13.2　混乱的状况 13.3　柯西与极限 13.4　柯西收敛准则第14章实数轴的重生 14.1　康托尔的实数模型 14.2　 1.000等于0.999吗 14.3　坚实的基础第15章芝诺悖论的数学终结 15.1　可数无穷集合 15.2　不平凡的可数集 15.3　实数集合不可数 15.4　迟到的荣耀第16章给长度一个交代 16.1　长度的数学本质 16.2　升级版长度 16.3　勒贝格测度第17章分析学的三条路径和一种范式 17.1　从有限到无穷 17.2　从局部到整体 17.3　以简单代替复杂第18章归结原则和两个重要极限 18.1　第一个重要极限： 18.2　从数列过渡到函数 18.3　第二个重要极限： 18.4　“收敛速度”可以求出来吗 18.5　怎样跑赢通货膨胀 18.6　第二个重要极限的证明第19章连续性的陷阱 19.1　狄利克雷函数 19.2　无穷振荡曲线 19.3　不可求长曲线 19.4　魏尔斯特拉斯函数第20章微分的前世今生 20.1　切线与微分 20.2　导数：差商的极限 20.3　微分在今天的含义 20.4　导数等于微商吗第21章自然的数学法则 21.1　函数[ex]的特性 21.2　指数函数与等角螺线 21.3　自然界中的等角螺线 21.4　等角螺线与地图投影第22章分割的艺术 22.1　黎曼积分 22.2　性质与实用的平衡 22.3　黎曼积分的性质 22.4　可积性判定准则 22.5　勒贝格积分第23章微分与积分的统一 23.1　面积如何求导 23.2　变限积分：连续函数的原函数 23.3　牛顿-莱布尼兹公式 23.4　增强版微积分基本定理 23.5　微分中值定理与积分中值定理的统一第24章多元函数的世界 24.1　方向导数 24.2　空间直线有斜率吗 24.3　偏导数——方向导数衍生品 24.4　从切线到切平面 24.5　梯度 24.6　积分也有方向 24.7　斯托克斯公式第25章泰勒展开 25.1　微分法 25.2　密切法 25.3　插值法 25.4　幂级数的春天第26章傅里叶展开 26.1　最小二乘法 26.2　正交投影法 26.3　三角级数的魅力第27章最小作用量原理 27.1　光的折射定律 27.2　笛卡儿的解释 27.3　费马最小时间原理第28章最优逼近——泰勒展开的第四张面孔 28.1　局部与整体的再一次拥抱 28.2　最优逼近多项式 28.3　逆矩阵的秘密 28.4　最优逼近多项式的极限第29章最佳近似——超定方程组的现实选择 29.1　纯代数的方案 29.2　利用费马定理求极值点的方案 29.3　造福人类的CT技术第30章最小损失——人工智能的决策法门 30.1　直线拟合的损失函数 30.2　梯度下降 30.3　梯度下降法的变体

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