内在现代数学的观点下，将代数与几何这两大领域，融合起来教学和学习，会帮助我们从本质上更好地理解它们，并产生更多方法。本书的特色是让代数与几何融为一个整体，力求做到“代数为几何提供研究工具，几何为代数提供直观背景”，让读者从代数“抽象的”高度，理解高维几何的意义。全书分为上、下两册。本书为上册，内容包括线性方程组与矩阵、行列式的定义与展开、可逆矩阵与矩阵的秩、向量代数、空间的直线和平面、线性空间、内积空间、方阵的特征值与特征向量、二次曲面、二次型，且以二维码的形式链接了部分视频作为教材的拓展或补充。
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博士 (基础数学/微分几何), 杭州大学，1994；硕士 (基础数学/微分几何), 杭州大学，1991
目录
前言
第1章 一元多项式理论 1
1.1 一元多项式 1
1.2 整除理论 7
1.3 最大公因式 12
1.4 因式分解 20
1.5 重根和多项式函数 25
1.6 代数基本定理与复、实多项式因式分解 29
1.7 有理多项式的因式分解 32
本章拓展题 38
第2章 多元多项式理论 40
2.1 多元多项式 40
2.2 对称多项式 45
2.3 结式及二元高次方程组的求解 51
2.4 多元多项式的几何 61
2.5 多元高次方程组的消元法简介 64
本章拓展题 69
第3章 直和理论与方程组的通解公式 70
3.1 子空间的交与和 70
3.2 直和与正交 75
3.3 矛盾方程组的最小二乘解 80
3.4 广义逆矩阵及对方程组解的应用 86
本章拓展题 94
第4章 线性映射与线性变换初步 95
4.1 线性映射的定义及运算 95
4.2 线性映射的矩阵 98
4.3 线性变换及其矩阵 102
4.4 线性变换的特征理论 109
本章拓展题 112
第5章 线性映射 (续) 113
5.1 像集与核同构映射 113
5.2 像集与核的关系 118
5.3 商空间与积空间 123
5.3.1 商空间 123
5.3.2 积空间 125
5.4 正交映射欧氏空间的同构 128
5.5 镜面反射 133
5.6 旋转简介 138
第6章 等距变换与几何变换 139
6.1 平面上的等距变换 139
6.1.1 映射 139
6.1.2 平面上等距变换的定义及例子 140
6.1.3 平面上等距变换的性质 141
6.1.4 等距变换的坐标变换公式及等距变换的分解 143
6.2 平面上的仿射变换 146
6.2.1 平面上的仿射变换的定义与例子 146
6.2.2 平面上仿射变换的性质 148
6.2.3 仿射坐标系与仿射变换的坐标表示 152
6.2.4 平面上仿射变换的分解 153
6.3 空间等距变换 157
6.4 空间仿射变换 161
6.5 变换群与几何学二次曲面的度量分类和仿射分类 162
6.5.1 变换群与几何学 162
6.5.2 二次曲面的度量分类和仿射分类 164
第7章 Jordan标准形理论 165
7.1 不变子空间 165
7.2 Jordan标准形的存在性和 Jordan-Chevalley分解 172
7.3 方阵的相似对角化与最小多项式 179
7.4 λ-矩阵及其标准形 186
7.5 行列式因子与标准形的唯一性 194
7.6 数字矩阵相似的刻画 205
7.7 Jordan标准形的唯一性和计算 210
本章拓展题 216
第8章 线性函数与欧氏空间的推广 217
8.1 线性函数与对偶空间 217
8.2 双线性函数 225
8.2.1 双线性函数的矩阵表达 226
8.2.2 不同基下双线性函数度量矩阵的关系 228
8.2.3 非退化双线性函数 228
8.2.4 对称/反对称双线性函数 229
8.3 欧氏空间的推广 239
8.4 辛空间 244
本章拓展题 251
第9章 射影几何初步 253
9.1 扩大的欧氏平面 253
9.2 射影平面 255
9.3 射影坐标 257
9.4 射影几何的内容对偶原则 261
9.5 交比 265
9.5.1 交比的定义和性质 265
9.5.2 一维射影变换 270
9.5.3 二维射影变换 (直射) 272
9.6 透视 274
9.7 配极 278
9.8 Steiner定理和Pascal定理 284
9.9 非欧几何简介 289
9.9.1 射影测度 289
9.9.2 欧几何 294
参考文献 299
附录 B 300
B.1 几何基础简介 300
B.1.1 公理法简介 301
B.1.2 欧氏几何公理体系 302
B.1.3 非欧几何公理体系 303
B.2 整数理论的一些基本性质 304
B.3 等价关系与商集 308
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