本书是根据“高等学校本科教学质量与教学改革工程”的需要，参照高等学校数学与统计学教学指导委员会发布的《理工类本科数学基础课程教学基本要求》，参考《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》编写而成的。
全书分上、下册出版，本书为上册。上册内容包括：绪论，函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，定积分的应用，空间解析几何与矢量代数8章内容。书末附有初等数学常用知识、几种常用曲线及其方程、积分表、Mathematica软件包的常用系统函数。全书每节后都配有精选的习题，既有基础题又有应用广泛的综合题。每章后还附有分层次教学测试练习题、Mathematica数学实验和数学欣赏。充分考虑分层次教学的需要，对全方位提升学生的综合素质和创新能力等方面起到积极的作用。
本书可作为高等本科院校理工类专业的高等数学教材，也可作为学生自学和考研的参考书。
本书是根据“高等学校本科教学质量与教学改革工程”的需要，参照高等学校数学与统计学教学指导委员会发布的《理工类本科数学基础课程教学基本要求》，参考《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》编写而成的。
全书分上、下册出版，本书为下册。下册内容包括：多元函数的微分法及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分，微分方程，无穷级数5章内容。全书每节后都配有精选的习题，既有基本题又有应用广泛的综合应用题。每章后还附有分层次教学测试练习题、Mathematica数学实验和数学欣赏，充分考虑分层次教学的需要，对全方位提升学生的综合素质和创新能力等方面起到积极的推进作用。
本书可作为高等本科院校理工类专业的高等数学教材，也可作为学生自学和考研的参考书。
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本书分上、下册, 上册内容包括Mathematica数学实验, 函数极限与连续, 导数与微分, 微分中值定理与导数的应用, 不定积分, 定积分, 定积分的应用, 空间解析几何与矢量代数等内容。下册内容包括Mathematica数学实验, 多元函数微分法及其应用, 重积分, 曲线积分与曲面积分, 微分方程, 无穷级数等内容。
第1 章 函数极限与连续
数学研究的主要对象来自于现实世界中的空间形式和数量关系，生产实践和科
学试验中的大量问题需要人们去探讨变量与变量之间的相互依存关系，并由此产生
了函数的概念及数学模型，极限是研究函数变化趋势的一种基本方法，它奠定了微积
分学的基础．本章将介绍函数的极限与连续性等基本概念，以及它们的一些性质．
1.1 函数的概念
1.1.1 集合 区间与邻域
在初等数学中，我们对集合的概念已有所了解，本节仅介绍区间与邻域的概念．
定义1.1 设a 和b 都是实数，且a ＜ b ，数集｛ x｜ a ＜ x ＜ b｝称为开区间，记作
（ a ，b） ，即
（ a ，b） ＝ ｛ x | a ＜ x ＜ b｝ ，
a 和b 称为开区间（ a ，b）的端点；数集｛ x｜ a ≤ x ≤ b｝称为闭区间，记作［ a ，b］ ，即
［ a ，b］ ＝ ｛ x | a ≤ x ≤ b｝ ，
a 和b 也称为闭区间［ a ，b］的端点；数集｛ x｜ a ≤ x ＜ b｝或｛ x｜ a ＜ x ≤b｝都称为半开半闭
区间，分别记作［ a ，b）或（ a ，b］ ．
以上这些区间都称为有限区间，数b - a 称为这些区间的长度．
根据实数与数轴上的点一一对应的关系，这些有限区间在数轴上表示长度为有
限的线段．如闭区间［ a ，b］与开区间（ a ，b）在数轴上表示出来，分别如图1.1 （a）与
图1.1（b）所示．
除以上谈到的有限区间外，还有无限区间．引进记号+ ∞ （读作正无穷大）及- ∞
（读作负无穷大） ，则可类似地表示无限区间．例如，满足关系式x ≥ a 的全体实数，用
区间［ a ，+ ∞ ） ＝ ｛ x｜ x ≥ a｝表示；满足关系式x ＜ b 的全体实数，用区间（ - ∞ ，b） ＝
｛ x｜ x ＜ b｝表示，读者可类似地定义区间（ a ，+ ∞ ）和（ - ∞ ，b］ ．
全体实数的集合R 也可记作（ - ∞ ，+ ∞ ） ，它也是无限区间．
定义1.2 设a 与δ 是两个实数，且δ ＞ 0 ．数集
｛ x | | x - a | ＜ δ｝
称为点a 的δ 邻域，记作U（ a ，δ） ．点a 称为该邻域的中心，δ 称为该邻域的半径．
因为｜ x - a｜ ＜ δ 相当于- δ ＜ x - a ＜ δ ，即a - δ ＜ x ＜ a + δ ，所以
U（ a ，δ） ＝ ｛ x｜ a - δ ＜ x ＜ a + δ｝ ．
图1.2
由此看出，U（ a ，δ）也就是开区间（ a - δ ，a + δ） ，
该区间以点a 为中心，而长度为2 δ（如图1.2） ．
以a 点为中心的δ 邻域去掉中心a 后，称
为点a 的去心δ 邻域，记作U（＾a ，δ） ，即
U（＾a ，δ） ＝ ｛ x | 0 ＜ | x - a | ＜ δ｝ ，
这里0 ＜ ｜ x - a｜就表示了x ≠ a ．
1.1.2 函数的概念
下面介绍两个变量间的函数关系．
定义1.3 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集．如果对于每个数x ∈ D ，
变量y 按照一定法则f 总有确定的数值与之对应，则称y 是x 的函数，记作y ＝ f（ x） ．
数集D 称为这个函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
当x 取数值x0 ∈ D 时，与x0 对应的y 的数值称为函数y ＝ f（ x）在点x0 处的函
数值，记作f（ x0 ） ．全体函数值的集合W ＝ ｛ y｜ y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝称为函数的值域．
对于任意x ∈ D ，对应的函数值为y ＝ f（ x） ．这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标就
在xOy 平面上确定一点（ x ，y） ，当x 取遍D 上的每一个数值时，就得到点（ x ，y）的一
个集合C ：
C ＝ ｛（ x ，y） | y ＝ f（ x） ，x ∈ D｝
称这个点集C 为函数y ＝ f（ x）的图形．
由函数的定义知，确定一个函数必须知道定义域和对应法则．于是定义域D 和
对应法则f 就称为确定函数关系的两大要素．两个函数相同，是指函数的定义域和
对应法则分别相同．
例1 设有两个函数y ＝ ex ，y ＝ xex
x ．前者的定义域为（ - ∞ ，+ ∞ ） ；后者的定义
域为（ - ∞ ，0） ∪ （0 ，+ ∞ ） ，因此这两个函数不相同．
例2 函数f（ x） ＝ sin x + lnx + 1 与g（ t） ＝ sint + lnt + 1是相同的．因为这两个
函数除自变量所采用的字母不同，定义域和对应法则完全相同．
在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的．如果不考虑函数的
实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数，函数的定义域就是自变量所能取的使算
式有意义的一切实数值．
在函数的定义中，对于定义域内每一个x 值，对应的函数值只能有唯一的一个，
这种函数称为单值函数；若允许同一x 值可以和不止一个y 值相对应，则称它为多
值函数．以后没有特别说明的，函数都是指单值函数．
表示函数的方法有三种：解析法、列表法、图像法．三种表示法各有其优缺点，在
解决实际问题时要根据问题的特点选用适当的表示法或者三种方法并用．
高等数学所讨论的函数，有时会遇到在自变量x 的不同取值范围内用不同的解
析式子表示的函数，通常称为分段函数．
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