第1 章 绪论
1.1 研究背景
在自然界、人类社会的生产生活和科学技术领域(如生物学、物理学、医学、经济学、金融学、控制理论等) 中，许多动态系统具有下列特点：在某些时刻系统的运动状态可能会发生突然改变，并且这些突然改变所经历的时间相对于整个系统过程的运动时间而言是非常短暂的、可忽略不计的. 因而，这种系统的运动状态发生的突然改变可以看成瞬时发生的， 也就是以脉冲的形式出现. 这种现象就称为所谓的“脉冲”现象，其发生突变的瞬间称为脉冲时刻， 具有脉冲变化现象的系统称为脉冲系统. 常见的脉冲系统中，一些具体的脉冲变化形式有：“鱼群生态系统的定时捕捞或补给”影响各种鱼群的数量的突然改变、“电路系统中开关的断开或闭合”会引起系统中电流的突然改变、“药剂的注射”导致生物体内病菌数量的突然变化、“国家调控政策的实施或国内外市场环境的改变”使得股票价格表现出的突变式的涨或跌等.对于这类系统的研究， 如果仍然采用通常的无脉冲的微分方程来描述系统模型就不够合理， 因而利用具有脉冲作用的微分方程(或差分方程)来刻画其系统模型是比较理想的选择， 它能更真实地刻画和反映这些运动过程.
脉冲能引起系统状态的突然变化. 正因为如此， 在生态学、医学、经济、金融、化工、通信等各个领域的系统研究中，脉冲有着广泛的应用. 人们根据自身的需求，设计出脉冲控制使系统具有所期望的稳定性， 即制造合适的脉冲使之对于系统起到积极作用.例如通过定时捕捞或补给可以控制鱼群的生态平衡， 通过某些开关的断开或闭合可以控制电路中电流的大小，通过国家调控政策的实施使得资本市场保持积极稳定的状态等. 脉冲控制是基于脉冲微分方程的控制方法.
一般来说， 研究脉冲微分方程是以无脉冲微分方程的方法为依据， 并克服由于脉冲所引起的困难. 因此，对于脉冲微分方程的研究无疑要比研究相应的无脉冲微分方程复杂得很多. 脉冲的作用表现在数学模型上，就是适当的脉冲能使不稳定的系统变得稳定， 使无界的解变得有界等“积极”作用. 当然， 不恰当的脉冲能使稳定的系统变得不稳定，起到相反的作用， 它符合任何事物都存在两面性的自然规律，这也正是脉冲控制的意义和目的所在.
时滞是自然界中广泛存在的一种现象. 例如， 带式运输机中物料传输的延迟， 卫星通讯中信号传递的延迟，网络系统中数据传送的延迟等都是典型的时滞现象. 时滞是引起系统不稳定， 导致系统产生不良性能的主要因素之一，因此研究具有时滞的脉冲系统是十分有必要的.
在控制系统中， 状态变化的规律性的直观表现在于系统的周期解的存在性、唯一性及其稳定性等特性. 在现实生活中，有不少非线性系统可以由周期的脉冲系统来描述. 例如， 满足一定环境条件下生物种群的捕获系统， 往复运动的机械系统等.
一般的， 系统的研究对象分为确定性现象和不确定现象(随机现象). 确定性现象是指对所关注的对象的结果能够预先确定的现象，随机现象则是指对所关注的对象的结果不能预先确定的现象. 它们都大量存在于自然界和人类社会当中，因而研究随机脉冲系统是十分必要的.
Stefan Hilger 在1988 年的一篇博士论文中开始了对一般时间尺度的理论研究，随后该理论发展迅速. 2001年专著Dynamic Equations on Time Scales: An Intro-duction withApplications的发表标志着一般时间尺度理论达到了一个高峰. 这个理论的初衷就是要统一连续和离散的情况，以往对于这两种情况不得不分开分析. 由于一般时间尺度的统一性，一般时间尺度上脉冲系统的稳定性研究无疑对整个学科的发展具有重要的理论价值和应用前景.
由于计算机容量的快速增长和微电子技术的不断进步，吸引系统分析与建模工作者、控制系统设计者尽可能采用数字计算机或微处理装置解决他们希望解决的问题.而利用计算机或微处理装置对系统进行实时控制或对系统进行模拟、分析或控制系统设计时， 必须将时间变量考虑为离散变量.因此要将所研究的系统考虑为离散系统. 由于上述原因， 自20 世纪50 年代以来，离散控制系统的理论研究与实际应用工作逐渐受到控制理论界的广泛重视， 取得了很大成就，使离散控制系统的分析设计成为控制理论的一个重要组成部分.
随着科学技术的迅猛发展， 人们着眼的系统规模也越来越大， 随机现象越来越复杂. 以往的理论体系已难以适用于这些新的问题，导致脉冲系统研究同时包含离散事件过程和连续变量过程的混杂动态系统的需要. 目前，混杂系统研究给控制理论及系统工程的研究带来了新的机遇和挑战. 其中切换系统和脉冲系统是两类典型的混杂系统，吸引着大量来自于应用数学、计算机科学、系统工程等领域的科学家的兴趣.
本书的内容安排如下：
在本书的第1 章简要介绍一下脉冲系统研究的背景意义及一些本书中常用的记号、定义和引理.
第2 章研究脉冲系统的稳定性.
第2.1 节给出一般时间尺度上脉冲系统稳定性、渐近稳定性、一致Lipschitz稳定性的判据.
第2.2 节介绍线性脉冲系统和线性时变奇异脉冲系统的有限时间稳定性.第3 章研究时滞脉冲系统的稳定性.
第3.1 节给出时滞脉冲线性系统的一致稳定性判据， 在脉冲点状态变量与时滞有关的时滞脉冲线性系统一致稳定的判据.
第3.2 节研究脉冲泛函微分方程的稳定性. 给出脉冲泛函微分方程严格稳定的判据，并给出在脉冲点状态变量与时滞有关的这类方程一致稳定、渐近稳定和实用稳定的判据.
第3.3 节研究一般时间尺度上时滞脉冲系统的稳定性.给出一般时间尺度上时滞脉冲系统一致稳定、渐近稳定以及不稳定的判据；并给出双测度下一般时间尺度上时滞脉冲系统一致稳定和渐近稳定的判据.
第4 章研究脉冲系统的可控性、可观性.
第4.1 节给出分片线性时变脉冲系统的可控性、可观性分析.
第4.2 节介绍复数域上脉冲系统的可达性、可观性分析.
第4.3 节研究线性和线性时变切换脉冲系统的可控性、可观性.
第5 章研究脉冲系统的边值问题和周期解.
第5.1 节研究一阶脉冲微分方程的非线性边值问题.
第5.2 节研究一阶脉冲泛函微分方程的非线性边值问题.
第5.3 节介绍脉冲控制系统的平稳振荡.
第5.4 节给出一类变时刻单种群捕获系统的周期解.
第6 章研究随机脉冲系统的稳定与控制问题.
第6.1 节介绍随机脉冲开关系统的p 阶稳定性及一类线性随机脉冲滞后系统的稳定性.
第6.2 节研究随机脉冲系统的H1 滤波. 研究一类带脉冲效应的随机Marko-vian 切换系统H1滤波问题以及一类不确定随机脉冲系统的鲁棒H1 滤波.
第6.3 节研究随机脉冲系统的镇定与控制问题. 具体地， (1) 讨论一类带脉冲效应和Markovian切换的不确定随机系统的鲁棒稳定性， 设计了线性输出反馈控制器使系统鲁棒随机稳定， 并提出了计算线性输出反馈控制器的增益的方法；(2)研究一类带Markovian 切换的不确定随机脉冲系统的保成本控制问题；(3) 探讨一类带脉冲效应的随机非线性系统的H1 镇定问题，给出系统的线性状态反馈镇定控制器的设计方法；(4) 讨论一类随机非线性Markovian 切换系统的混杂控制问题，首先给出了系统在脉冲控制下的镇定条件， 并在脉冲控制下， 设计系统的线性输出反馈控制器.
第7 章研究离散脉冲系统的控制问题.
第7.1 节讨论离散脉冲线性系统的H1 滤波和H1 输出反馈镇定. 分别研究了离散线性脉冲系统的H1 输出反馈镇定.一类离散脉冲不确定系统的H1 滤波器设计以及分片离散脉冲系统的滤波器设计问题.
第7.2 节给出离散脉冲时滞线性系统的镇定问题.
1.2 记号
第2 章 脉冲系统的稳定性理论
2.1 一般时间尺度上脉冲系统的稳定性理论首先给出一般时间尺度上脉冲系统的稳定性理论的一些基本概念.这些概念主要来自文献[8]，[68].
设T 是一般时间尺度(一种非空的闭的实数集) 满足有最小元素t0 > 0， 没有最大元素.
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