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大学文科数学 
定 价：36 元 丛书名：河南省“十二五”普通高等教育规划教材
9 7 4 8 1 7 3 0 1 3 7 0 8 读者对象:哲学、法学、教育学、文学、历史、艺术等各个专业普通高等教育本科学生 
大学文科数学贯彻导引的思想，结合文科生对高等数学的可接受性，力求让广大文科大学生接触到更为广泛、更具有实用价值的数学知识．大学文科数学分三部分，包括微积分、线性代数、概率论与数理统计，共含13章．内容丰富，条理清楚，重点突出，难点分散，注重数学思想的介绍，力求做到深入浅出．
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目录
前言 第一部分 微积分 第1章 函数与极限 2 1.1 函数及其性质 2 1.1.1 函数的概念 2 1.1.2 函数的几种特性 4 1.1.3 函数的运算 6 1.1.4 初等函数 7 1.2 数列的极限 12 1.2.1 数列的概念 12 1.2.2 数列极限的定义 12 1.2.3 收敛数列的性质 14 1.3 函数的极限 16 1.3.1 邻域 17 1.3.2 函数极限的概念 17 1.3.3 函数极限的性质 19 1.3.4 两个重要的极限 20 1.3.5 无穷小量与无穷大量 22 1.4 函数的连续性 25 1.4.1 函数的连续性 25 1.4.2 函数的间断点 26 1.4.3 初等函数的连续性 27 1.4.4 闭区间上连续函数的性质 28 习题1 30 中外数学家简介【1】 31 第2章 导数与微分 34 2.1 导数的概念 34 2.1.1 引例 34 2.1.2 导数的定义 35 2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系 37 2.2 导数的计算 38 2.2.1 部分基本初等函数的导数公式 38 2.2.2 导数的四则运算法则 39 2.2.3 复合函数的求导法则 40 2.2.4 基本初等函数的求导公式 41 2.2.5 隐函数的导数 41 2.2.6 高阶导数 42 2.3 函数的微分 43 2.3.1 微分的定义 43 2.3.2 函数可微的条件 44 2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 44 2.3.4 微分在近似计算中的应用 46 习题2 46 中外数学家简介【2】 47 第3章 导数的应用 50 3.1 微分中值定理 50 3.1.1 罗尔定理 50 3.1.2 拉格朗日中值定理 51 3.1.3 柯西中值定理 52 3.2 洛必达法则 53 3.2.1 型与型未定式 53 3.2.2 其他类型的未定式 55 3.3 函数的单调性及函数的极值、最大值、最小值 56 3.3.1 函数的单调性 57 3.3.2 函数的极值 57 3.3.3 函数的最大值与最小值 60 习题3 61 中外数学家简介【3】 62 第4章 不定积分 65 4.1 不定积分的概念和性质 65 4.1.1 原函数的概念 65 4.1.2 不定积分的概念 66 4.1.3 不定积分的几何意义 67 4.1.4 不定积分的性质 67 4.1.5 基本积分公式 68 4.2 不定积分的计算 69 4.2.1 第一换元法(凑微分法) 69 4.2.2 第二换元法 70 4.2.3 分部积分法 72 习题4 74 中外数学家简介【4】 74 第5章 定积分 77 5.1 定积分的概念和性质 77 5.1.1 引例 77 5.1.2 定积分的定义 79 5.1.3 定积分的几何意义 81 5.2 定积分的性质 82 5.3 定积分的计算 84 5.3.1 微积分基本公式 84 5.3.2 定积分的换元积分法 87 5.3.3 定积分的分部积分法 88 5.3.4 无穷区间上的广义积分 89 5.4 定积分的应用 91 5.4.1 定积分的微元法 91 5.4.2 几何上的应用 92 5.4.3 物理上的应用 96 习题5 98 中外数学家简介【5】 99 第6章 微分方程简介 101 6.1 常微分方程的基本概念 101 6.2 可分离变量的常微分方程 103 6.3 一阶线性微分方程 104 习题6 106 中外数学家简介【6】 107 微积分发展简史 110 第二部分 线性代数 第7章 行列式 114 7.1 n阶行列式 114 7.1.1 二阶和三阶行列式 114 7.1.2 排列及其逆序数 118 7.1.3 n阶行列式的定义 120 7.1.4 n阶行列式的等价定义 122 7.2 行列式的性质与计算 123 7.2.1 行列式的性质 123 7.2.2 行列式的计算 126 7.3 克拉默法则 128 7.3.1 行列式按行(列)展开 128 7.3.2 克拉默法则 132 习题7 135 第8章 矩阵 137 8.1 矩阵的概念 137 8.1.1 引例 137 8.1.2 矩阵的定义 140 8.1.3 几类特殊的矩阵 142 8.2 矩阵的运算 145 8.2.1 矩阵加法 145 8.2.2 数量乘积 147 8.2.3 矩阵乘法 150 8.2.4 方阵的幂 156 8.2.5 矩阵的转置 159 8.2.6 方阵的行列式 160 8.3 矩阵的逆 161 8.3.1 可逆矩阵的概念 161 8.3.2 矩阵可逆的判定 164 8.3.3 可逆矩阵的性质 167 习题8 169 第9章 线性方程组 171 9.1 消元法 171 9.1.1 线性方程组的有关概念 171 9.1.2 消元法 173 9.2 矩阵的初等行变换 176 9.2.1 矩阵的初等行变换 176 9.2.2 行阶梯形矩阵 177 9.2.3 行最简形矩阵 179 9.2.4 消元法求解线性方程组的矩阵表示 181 9.2.5 用初等行变换求矩阵的逆矩阵 183 习题9 185 第三部分 概率论与数理统计 第10章 随机事件及概率 188 10.1 随机事件及其运算 188 10.1.1 随机试验 188 10.1.2 样本空间 188 10.1.3 随机事件 189 10.1.4 事件间的关系 189 10.1.5 事件间的运算 190 10.1.6 事件的运算法则 192 10.2 随机事件的概率 193 10.2.1 频率 193 10.2.2 概率的统计定义 194 10.2.3 概率的公理化定义及其性质 195 10.3 条件概率 197 10.3.1 条件概率的定义 197 10.3.2 乘法定理 198 10.3.3 全概率公式 199 10.3.4 贝叶斯公式 201 10.4 事件的独立性与独立试验概型 202 10.4.1 事件的独立性 202 10.4.2 独立试验概型 205 习题10 206 第11章 随机变量及其分布 209 11.1 随机变量与分布函数 209 11.2 离散型随机变量及其分布律 211 11.2.1 离散型随机变量和概率分布 211 11.2.2 常用离散型随机变量的分布 214 11.3 连续型随机变量及其分布 219 11.3.1 连续型随机变量和密度函数 219 11.3.2 常用连续型随机变量的分布 221 习题11 227 第12章 随机变量的数字特征 230 12.1 数学期望 230 12.1.1 数学期望的定义 230 12.1.2 数学期望的性质 232 12.2 方差 233 12.2.1 方差的定义 233 12.2.2 方差的性质 234 习题12 236 第13章 数理统计的基本方法 238 13.1 总体与样本 238 13.1.1 总体与样本的定义 238 13.1.2 样本函数与统计量 239 13.1.3 抽样分布 241 13.2 参数的点估计 247 13.2.1 矩估计法 248 13.2.2 最大似然估计法 249 13.2.3 估计量评选标准 252 13.3 参数的区间估计 254 习题13 263 参考文献 265 附表 266
第一部分 微 积 分
微积分学(cAlculus)在自然科学、经济学和工程技术领域有广泛的应用，是现 代大学教育的重要组成部分．微积分是在代数学、三角学和解析几何学的基础上建 立起来的，包括微分学、积分学两大分支．微分学包括求导数的运算，是一套关于变 化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进 行演绎．积分学包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方 法．微积分基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积 分的原因．我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分，但是在教学中一般会 先引入微分学．在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研 究函数的科学． 本部分包括函数与极限、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用 以及微分方程简介6章内容．第1章 函数与极限 初等数学研究的主要是常量及其运算，而高等数学研究的主要是变量及变量 之间的依赖关系，函数正是这种依赖关系的体现，极限方法是研究变量之间依赖关 系的基本方法．本章将在复习高中所学的函数与极限概念的基础上，进一步介绍两 个重要极限、无穷小与无穷大的概念以及函数连续性． 1.1 函数及其性质 1.1.1 函数的概念 在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之 间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子． 例如，某种商品的销售单价为p元，则其销售额L与销售量z之间存在这样 的依赖关系：L一pl-． 又如，圆的面积S和半径r之间存在这样的依赖关系：S一7rr2． 不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依 赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围 内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应．两个变量间的这种对 应关系就是函数概念的实质． 定义1.1 设有两个变量z，v，D是一个数集．对任意的z∈D，存在一定规 律厂，使得v有唯一确定的值与之对应，则y称为z的函数．记作y一、厂(z)，z∈D. 其中z称为自变量，v称为因变量．数集D祢为函数的定义域，函数v的取值范围 V={y I y一．厂(z)，z∈D)称为函数的值域． 在函数y一厂(z)中，当.c取定x。(/o∈D)时，则称厂(z。)为y一厂(z)在r。 处的函数值，即 f(z。)一fci')一。一 有时，函数的值域也记作f(D)，即 厂(D)一{y I y一．厂(z)，l-∈D)． 函数的定义域通常按以下两种情形来确定． 一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定．例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为f，下落的距离为s，开始下落的时刻t- 0，落地的时刻f—T，则s与f之间的函数关系是 s一丢∥。， 这个函数的定义域就是区间[O，T]． 另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算 式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．在这种约定 之下，一般的用算式表达的函数可用“y一厂(z)”表达，而不必再显式地表示出 “z∈D”．例如，函数v-／『=i7的定义域是闭区间[一1，1]，函数y一—7主i尹 的定义域是开区间（一1，1）． 例1.1确定函数厂(z)一／FF五二z2+ In(z -2)的定义域，并求f(3)和 -厂(f2)． 解该函数的定义域应为满足不等式组 3+2r -z2≥0， r-2>0 的z值的全体．解此不等式组，得2 f(3)一√可干i叉丐一32+In(3 -2)一Inl一o， f(tv)一√丁干2t二t4+ In(t2—2)． 函数的定义域D和对应法则-厂称为函数的两个要素，而函数的值域一般称为 派生要素，由定义域和对应法则确定．如果两个函数的定义域相同，对应法则也相 同．那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的． 例1.2判断以下函数是否是同一函数，为什么？ (1)y一lnr2与y一2lnr， 解 (l)两函数的定义域不同： v—lrrr2，z∈{zlz≠0）； 因此，它们不是相同的函数． (2)训一√i与y一√i． v=2lnr, r∈ { r l z>ol , (2)虽然两函数的自变量和因变量的符号不相同，但两函数的对应法则和定义 域均相同，因此是同一函数． 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学里大家 已经熟悉．其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集 {(z，v) y一厂(z)，z∈D)，称为函数y一厂(z)，z∈D的图形． 例1.3若函数l厂(z)在定义域不同的区间上用 不同解析式来表示，则称函数厂(z)为分段函数．如 /<0. f(r，一 其图像如图I—1所示． 1， z>o． 1.1.2 函数的几种特性 图1 1例1.3的函数图像 1．有界性 设函数y一厂(z)在集合D上有定义，如果存在 一个正数M，对于所有的z∈D恒有 -厂(z)≤M， 则称函数f(r)在D上是有界的．如果不存在这样的正数M，则称函数厂(z)在D 上是无界的．这就是说，如果对于任何正数M，总存在z，∈I，使f(z．)>M， 那么函数-厂(z)在J内无界． 例如，函数-厂(z)一sinz在（一00．+oo）内是有界的，因为无论z取任何实数， sinx≤1都能成立．这里M=1（当然也可取大于1的任何数作为M，而 sinx≤M成立）．函数、厂(z)一』在区间(o，1)内无界，因为不存在这样的正数 M，使专≤M对于(o，1)内的一切z都成立．事实上，对于任意取定的正数M （不妨设M>1），则未才∈(o，1)，当z．一未才时，去一2M>M．但是厂(z)一 』在区间(1，2)内是有界的，如可取M一1，而使≥≤1对于区间(1，2)肉的 一切z值都成立． 9．单调性 设函数y一厂(z)在区间I内有定义，如果对于I内的任意两点z，和z。，当 Zl 则称函数y一厂(z)在区间I内是单调增加的，区间I称为函数厂(z)的单调增区 间；如果对于J内的任意两点z．和z：，当ll <-z。时，有 fcZi)>．厂(z2)，则称函数y一f(-z)在区间J内是单调减少的，区间J称为函数厂(z)的单调减 区间． 例如，函数f(l-)一z2在区间[0，+c0）内是单调增加的，在区间（一。。，O]内 是单调减少的；在区间（一oo．+oo）内函数l厂(z)一z2不是单调的． 如果函数y一厂(z)在区间I内是增函数（或是减函数），则称函数f(z)在区 间j内是单调函数，区间J称为函数l厂(z)的单调区间．函数在区间J内的单调增 加或单调减少的性质，称为函数的单调性． 显然单调增加函数的图像是沿z轴正向逐渐上升的，如图l-2(A)所示；单调(A)奇函数图像关于原点对称 (b)偶函数图像关瑚对称 图1 3奇偶函数的图像 -厂(z)的周期，一般提到的周期均指最小正周期T． 例如，三角函数y - sini和y- cosr的周期都为2兀;y- tAnr，y- cotr的 周期都是兀． 周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为Z的区间上，函数的图 形有相同的形状． 1.1.3 函数的运算 1．函数的四则运算 设函数厂(z)，91(z)的定义域依次为D，，D。，D—Din D2≠移，则可以定义 这两个函数的下列运算： 和（差）厂±g:（厂±g）(z)一．厂(z)±g(z)，z∈D； 积 厂．g：（厂．g）(z)一厂(z)g(z)，z∈D； 商 等：（手）(z)一爱骞，z∈D\{rlg‘(T)一o）． 2．复合函数 设函数y一厂(“)的定义域为Di，函数“一91(z)在D上有定义且g(D)[ Di，则由下式确定的函数 y一厂(g(z))， z∈D， 称为由函数比一g(z)和函数y一厂(“)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u 称为中间变量． 例如，y = f(u) - Arcslnu的定义域为[-1，1]，“一g(r)一2√j二z2在 D=[-I，一等]U[雩．1]上有定义，且g(D)[[一1，1]，则g与厂可构成复 合函数减 少函数的图像是沿z轴正向逐渐下降的，如图l-2(b)所示． ┏━━━━┳━━━┳━┓ ┃ y一 ┃ ┃ ┃ ┃，／ ┃／／j ┃ ┃ ┣━━━━╋━━━┻━┫ ┃ n 0 ┃ X ┃ ┗━━━━┻━━━━━┛ ┏━┳━━━━┳━━━━┓ ┃ ┃ V‘ ┃ ┃ ┃ ┃＼＼ ┃ ┃ ┃ ┃ ┃j＼＼～ ┃ ┣━┻━━━━╋━━━━┫ ┃ “ 0 ┃ 工 ┃ ┗━━━━━━┻━━━━┛ (A)单调增函数的图像 (b)单调减函数的图像 图1 2单调函数的图像 设函数y一厂(z)在集合D上有定义，如果对于任意的l-∈D，恒有 厂（一z）一厂(z)， 则称函数f(z)为偶函数；如果对于任意的z∈D，恒有 f（一z）一一厂(z)， 则称函数-厂(z)为奇函数． 例如，f(z)一z2是偶函数，因为f(-:r)一（一z）2一z2一、厂(z)．而厂(z)一 z3是奇函数，因为厂（一z）一（一z）3一一z3一一厂(z)。 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称．如图1-3 (A)，(b) 所示． 4．周期性 对于函数y一厂(z)，如果存在正数T，使得 f(z)一f(_r+T) 恒成立，则称厂(z)为周期函数，称T为函数周期．显然nT（”是整数）也为函数
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