《现代分析入门》从五个不同的侧面， 介绍现代分析入门的基础理论及其应用， 主要讲述三类抽象空间(距离空间、赋范线性空间、内积空间)的结构及性质， 有界线性算子与有界线性泛函的入门理论， 凸分析初步， 抽象分析初步， 非线性分析初步等内容. 《现代分析入门》可用“突出基础， 强调应用; 关注背景， 启迪创新; 叙述简洁，视野开阔”概括其特色.
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《现代分析入门》适用于数学专业的本科高年级学生、数学课程与教学论硕士研究生、理工科相关专业的硕士研究生、青年教师以及自然科学工作者学习参考.
第1 章三类抽象空间的结构及性质
精美绝伦的经典分析奠基在欧几里得空间这片古老沃土上，丰富多彩的现代分析却需要与奇妙无比的抽象空间伴随.数学家们建立抽象空间理论的内在动力来自两个方面:其一是19世纪后期因更新数学基础而引发的公理化浪潮所推动;其二是源自数学家们试图将经典分析结果拓展到函数空间中的数学探索需要.所谓抽象空间，就是在其元素间规定了某种关系的集合，而这种关系通常借助于一组数学公理来刻画.本章仅介绍现代分析学中所涉及的三类最基本的抽象空间：距离空间、赋范线性空间与内积空间.
1.1 距离空间的结构及性质
1.1.1 距离空间的定义与例子
背景聚焦数学家们把日常生活中的距离概念的本质属性(距离三公理)抽象出来构建抽象距离与距离空间的概念，他们引进距离这种数学工具的目的，在于研究抽象空间的性质，并用于解决实际问题.这方面的最初工作归属于法国数学家弗雷歇(Fr′echet，1878—1973)，他在1906年写的博士论文中将当时来自微分方程和积分方程中函数族的概念统一表述为函数空间，并引入距离与极限概念，为泛函分析这门学科的诞生作出了开创性工作.
1. 距离与收敛概念
定义1.1.1(距离空间)给定非空集合X.如果按照某一法则，对于X中的任意两个元素x，y，都有唯一确定的实数d(x，y)与之对应，且满足下述三条公理：
(1)d(x，y).0，而且d(x，y)=0当且仅当x=y(非负性);
(2)d(x，y)=d(y，x)(对称性);
(3)d(x，y).d(x，z)+d(z，y)(三角不等式)，那么称d是X上的距离函数，并称d(x，y)为x与y之间的距离.配备了距离d的集合X称为一个距离空间(也称度量空间)，简记作(X，d).在不至于引起混淆的情形下可写作X(例如，常用的实数集R，二维实平面R2 等).给定距离空间(X，d)，如果对于X中的非空子集Y，仍以X上的距离作为Y
上的距离，那么Y也是距离空间，并称它为X的子空间，简记作(Y，d). (X，d).相关链接给定距离空间(X，d)，可派生出下述相关概念：
(i)给定x0∈ X，r>0，称点集B(x0，r)={x ∈ X|d(x，x0)
(ii)给定X的非空子集A，B，称d(A，B)=inf{d(x，y)|x ∈ A，y ∈ B} 为集合A和B之间的距离.特别地，当A为单点集{a} 时，称d({a}，B)为点a到集合B的距离，并简记作d(a，B);径; (iii)给定X的非空子集A，称diam(A)=sup{d(x，y)|x，y ∈ A} 为集合A的直
(iv)给定X的非空子集A.如果存在X中的一个开球B(x0，r). A， 则称A
是X中的有界集(等价于diam(A)<+∞).定义1.1.2(收敛)设(X，d)是距离空间，{xn}. X， x0 ∈ X. 若
limd(xn，x0)=0，
n→∞
则称点列{xn} 按距离d收敛于x0，记作limxn=x0或xnx0，并称x0为点列{xn} 的极限. n→∞ → 相关链接由收敛定义及距离三角不等式不难证明下述命题成立：
(i) 距离空间中的收敛点列的极限必唯一;
(ii) 距离空间中的收敛点列必有界;
(iii)(四边形不等式)给定距离空间(X，d)，则.x，y，x1，y1∈ X 有
|d(x，y). d(x1，y1)| .d(x，x1)+d(y，y1);
(iv)在距离空间(X，d)中，若xn→ x0，yn→ y0，则
d(xn，yn)d(x0，y0);
→
(v)在距离空间(X，d)中，若A是X的非空子集，则.x，x0 ∈ X 有
|d(x，A). d(x0，A)| .d(x，x0).
证仅证(ii)与(v)为例.设距离空间(X，d)中的点列xnx0，对ε=1，存在N，当n>N时有d(xn，x0)<1，于是当n.1时有→
d(xn，x0)= α，
··· 即{xn}. B(x0，α)，(ii)得证;由定义及三角不等式，对.y ∈ A 有
d(x，A).d(x，y).d(x，x0)+d(x0，y)，
两边关于y 取下确界及下确界的性质可得
d(x，A).d(x，x0)+d(x0，A)，
同理可得d(x0，A).d(x0，x)+d(x，A)，再由对称性，(v)得证.
2. 几个具体例子
例1.1.1(离散距离空间)设X是一个任意的非空集合，规定
.1，x=y，
d(x，y)=.0，x=y.
不难验证(X，d)是距离空间，且(X，d)中的收敛点列必是常点列(从某一项开始所
有的项都相同)，这个距离空间通常称为离散距离空间或平凡距离空间.
点评光从表面上看，例1.1.1似乎没有多少实际意义，例如，在实数集上定义离散距离之后成为一个平凡的距离空间，在该空间中，实数理论中的许多精美理论完全丧失了.然而，这个简单的特例对研究距离空间的理论却是很有用的.一方面它说明在任何集合上都可以定义距离使其成为距离空间(普适性);另一方面它在构造数学反例时常起重要作用(特殊性).特别地，利用它可以说明欧几里得空间的一些性质在一般的距离空间中并非一定成立.当然，我们更感兴趣的是内涵更为丰富的其他距离空间.
例1.1.2(n维欧氏空间)设Rn = {x=(ξ1，ξ2，，ξn)ξi∈ R， 1 . i . n}， 我
们规定··· |
.n.1/22
d2(x，y)=.|ξi . ηi| ，
i=1
其中x=(ξ1，ξ2，，ξn)，y=(η1，η2，，ηn)∈ Rn . 利用柯西不等式
······
. n.2 . n n.
2
. aibi . . ai . bi 2
·
i=1i=1i=1
及定义1.1.1可推证d2是Rn 上的距离，通常称(Rn，d2)为n维欧几里得空间，并简记为Rn .进一步，在Rn 上按d2收敛等价于按坐标收敛.
例1.1.3(连续函数空间)设C[a，b]={x|x:[a，b]→ R 连续}， 规定
d(x，y)=max|x(t). y(t)|， .x，y ∈ C[a，b].
a.t.b
利用闭区间上的连续函数的性质，不难证明d是C[a，b]上的距离，通常用C[a，b]表示距离空间(C[a，b]，d).进一步，在C[a，b]中点列{xn} 按距离d收敛于x0等价于连续函数列{xn} 在[a，b]上一致收敛于连续函数x0.
例1.1.4(实数列空间s)设s={x|x = {ξi}，ξi ∈ R，i=1，2，···}， 规定
∞1 ξi . ηi
d(x，y)=.||，
i=12i · 1+ |ξi . ηi|
其中x = {ξi}， y = {ηi}∈ s. 利用函数
x
.(x)=1+ x
在[0，+∞)上的单调性或者绝对值三角不等式可证d是s上的距离;利用级数∞1x
. 2i 的收敛性及.(x)=1+ x 在[0，+∞)上的单调性可证在s上点列按d收敛
i=1
等价于按数列的各个坐标收敛.
例1.1.5(可测函数空间S)设S={x|x:[a，b]→ R是Lebesgue可测函数}， 我们规定
d(x，y)=. [a，b]1+ |x(xt)(t.) . y(yt)(|t)dt，.x，y ∈ S. ||
利用函数.(x)=1+ xx 在[0，+∞)上的单调性及Lebesgue积分的性质可以证明d是S上的距离，而且S上的点列收敛等价于可测函数列依测度收敛.
1.1.2 距离空间中的点集构造
本小节借助通常的几何术语，对距离空间中点集的构造给出形象化的描述，建立若干基本概念，这些概念对于学习与研究泛函分析都是随时用到的基本知识.此外，这些基本概念的几何直观是极为明显的，因此值得我们充分加以利用，但又必须注意不能用直观想象来代替逻辑论证.
定义1.1.3设(X，d)是距离空间，A. X， x0 ∈ A.
(i) 若.δ>0使得B(x0，δ). A，则称x0是A的内点;集合A的内点全体记作A0 ， 称其为集合A 的内核;
(ii) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ A =，则称x0为A的接触点;集合A的接触点全体记作Aˉ， 称其为A 的闭包;
(iii) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ (A\{x0}) .=.，则称x0为A的聚点(或极限点);集合A的聚点全体记作A.， 称其为A 的导出集;
(iv) 若.δ>0，都有B(x0，δ)∩ A .=.且B(x0，δ)∩ AC .=.(其中AC 为A的补集)，则称x0为A的边界点;集合A的边界点全体记作.A，称其为A的边界;
(v) 若A ˉ= A， 则称A 为闭集; 若A = A0 ，则称A为开集.相关链接由定义1.1.3不难证明下述命题成立：
(i)在任何距离空间(X，d)中，.与X既是开集又是闭集;
(ii)在离散距离空间(X，d)中，X的任何子集既是开集也是闭集;
(iii) 距离空间中的任何开球是开集， 闭球是闭集;
(iv)距离空间(X，d)中的集合A是开集当且仅当AC 是闭集;
(v)在距离空间中，开集类关于有限交、任意并运算封闭;闭集类关于有限并、任意交运算封闭;
(vi)对于距离空间(X，d)中的任何集合A，都有A00 ˉ
= A0 ，A=A，A A.，
从而A0 是开集， A ˉ 与A. 都是闭集.
证仅证(vi)为例x ∈ A0 ， .δ>0使得B(x，δ). A. 任取y ∈ B(x，δ)，令δ. = δ . d(x，y)，则有B(y，δ.) . B(x，δ). A， 因此y ∈ A0 ，从而有B(x，δ). A0 ， 因此x ∈ A00 ，于是有A0 . A00; A00 . A0 显然，故A00 = A0 .
下证A . A 任取x ∈ A， 由定义.δ> 0， 可取y ∈ B(x，δ)∩ (A\{x})， 令ε = min{δ . d(x，y)，d(x，y)}，则有B(y，ε). B(x，δ)而且x/∈ B(y，ε)，由y∈ A. 可取z ∈ B(y，ε)∩ (A\{y})， 此时必有z ∈ B(x，δ)∩ (A\{x})， 于是有x ∈ A.，这样证得A . A 同理可证A = Aˉ. 证毕.
命题1.1.1(聚点等价刻画)设(X，d)是距离空间，A是X的非空子集，x0∈
X. 下列陈述相互等价：
(1) x0 ∈ A.;
(2) .δ>0，B(x0，δ)∩ A 无限集;
(3) 存在两两互异的点列{xn}. A使得xnx0.
→
证(1)(2)：若有B(x0，δ)∩ A = {x1，x2，，xn}，可设x0/，
.···∈{x1，x2， ···
xn}，令δ. = 1.i.n{d(xi，x0)}，则B(x0，δ.) ∩ (A\{xn})=.，这与x0∈ A.矛盾;
min
(2)(3)：令δn=1，归纳地，取xn∈ B(x0，δn)∩ (A\{x1，x2，，xn.1})，
.···
n=1，2，，则{xn} 两两互n异而且xnx0;
··· →
(3) .(1)：显然.证毕.
命题1.1.2(接触点等价刻画)设(X，d)是距离空间，A是X的非空子集，x0∈ X. 下列陈述相互等价：
(1) x0 ∈ Aˉ; (2) x0 ∈ A ∪ A.;
(3) 存在点列{xn}. A，使得xnx0;(4)d(x0，A)=0.证明留作练习.→
命题1.1.3(运算相互表示)设A是距离空间(X，d)中的非空子集.下述运
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