本教材是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的。教材中适当加强了微积分的基本理论，同时并重微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力。书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学与学生自学。
教材分为上、下两册， 此书是上册，内容包括实数与实数列的极限、一元函数极限与连续、一元函数导数与导数应用、一元函数积分与广义积分、常微分方程。
《高等微积分教程（上）：一元函数微积分与常微分方程（清华大学公共基础平台课教材）》可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材。
微积分是现代大学生(包括理工科学生以及部分文科学生)大学入学后的第一门课程，也是大学数学教育的一门重要的基础课程，其重要性已为大家所认可.但学生对这门课仍有恐惧感.对学生来说如何学好这门课，对教师来说如何教好这门课，都是广大师生关注的事情.众多微积分教材的出版，都是为了帮助学生更好地理解、学习这门课程，也为了教师更容易地教授这门课.本书的编写就是这么一次尝试.
一、 微积分的发展史
以英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在17世纪下半叶独立研究和完成的，现在被称为微积分基本定理的牛顿-莱布尼茨公式为标志，微积分的创立和发展已经历了三百多年的时间.但是微积分的思想可以追溯到公元前3世纪古希腊的阿基米德(Archimedes).他在研究一些关于面积、体积的几何问题时，所用的方法就隐含着近代积分学的思想.而微分学的基础——极限理论也早在公元前3世纪左右我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中就有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”； 在魏晋时期我国伟大的数学家刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”,都是朴素的、也是很典型的极限概念.利用割圆术，刘徽求出了圆周率π=3.1416…的结果.
牛顿和莱布尼茨的伟大工作是把微分学的中心问题——切线问题和积分学的中心问题——求积问题联系起来.用这种划时代的联系所创立的微积分方法和手段，使得一些原本被认为是很难的天文学问题、物理学问题得到解决，展现了微积分的威力，推动了当时科学的发展.
尽管牛顿和莱布尼茨的理论在现在看来是正确的，但他们当时的工作是不完善的，尤其缺失数学分析的严密性.在一些基本概念上，例如“无穷”和“无穷小量”这些概念，他们的叙述十分含糊.“无穷小量”有时是以零的形式，有时又以非零而是有限的小量出现在牛顿的著作中.同样，在莱布尼茨的著作中也有类似的混淆.这些缺陷，导致了越来越多的悖论和谬论的出现，引发了微积分的危机.
在随后的几百年中，许多数学家为微积分理论做出了奠基性的工作，其中有：
捷克的数学家和哲学家波尔查诺(Bolzano)(1781—1848年)，著有《无穷的悖论》，提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解.
法国数学家柯西(Cauchy)(1789—1857年)，著有《分析教程》、《无穷小分析教程概论》和《微积分在几何上的应用》，“柯西极限存在准则”给微积分奠定了严密的基础，创立极限理论.
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)(1815—1897年)，引进“ε-δ”、“ε-N”语言，在数学上“严格”定义了“极限”和“连续”，逻辑地构造了实数理论，系统建立了数学分析的基础.
在微积分理论的发展之路上，还有一些数学家必须提到，他们是黎曼(Riemann)、欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、阿贝尔(Abel)、戴德金(Dedekind)、康托尔(Cantor)，等等，他们的名字将在我们的教材中一次又一次地被提到.
我们将在教材中呈现的是经过许多数学家不断完善、发展的微积分体系.
二、 我们的教材
教材的编写与教学目的是紧密相关的.微积分的教学目的主要为：
工具与方法微积分是近代自然科学与工程技术的基础，其工具与方法属性是毋庸置疑的.物理、化学、生物、力学等，很少有学科不用到微积分的概念、思想方法与手段.即便是在许多人文社会科学中，也会用到微积分知识.
语言功能“数学教学也就是数学语言的教学.” 这是俄罗斯学者斯托利亚尔说过的.其实这里说的数学语言，不仅仅指的是数学上用到的语言，还指科学上用到的语言.科学知识的获取、发展及表述都需要一套语言，而数学语言是应用最广的一种科学语言.微积分中所用到的语言，包括“ε-δ”、“ε-N”语言，是最重要的数学语言之一.因此数学语言的学习也是微积分课程的教学内容.
培养理性思维理性思维方法是处理科学问题所必需的一种思维方法.微积分理论中处处闪耀着历史上一代又一代数学大师们理性思维的光芒，我们力图在教材中向学生展现这些理性思维的光芒，以激发学生理性思维的潜能.同时注重理性思维训练，使学生在微积分的学习过程中有机会逐步理解、掌握解决数学以及相关科学问题的逻辑思维方法.
实践过程从微积分的发展历史可以发现，从阿基米德、刘徽的朴素微积分思想，到牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理，再到“实数系—极限论—微积分”体系的建立，正好是一门学科从萌芽到初步建立再到完善的过程.任何一门科学的产生都沿袭这个过程.微积分是学生第一次完整地经历这一过程，而这种经历对每个学生来说也是难得的.微积分的学习就是一次实践过程，让学生体会、学习如何建立一门科学，在创建的过程中会遇到什么问题，如何去解决那些乍一看似乎解决不了的问题(例如“柯西极限存在准则”成功解决了数列或函数极限不存在的问题，而这个问题用极限的定义是无法解决的； 实数理论解决了实数在实数轴上的完备性问题).尽管微积分是一门已经成熟的课程，我们几乎不可能有创新的机会，但是通过建立微积分理论体系的实践，可以培养学生创新的能力.一旦有机会，他们会在各自的工作中提出自己的理论，并会完善自己的理论.就像儿时的搭积木对培养建筑师的重要性一样.
随着计算机和软件技术的日益发展，微积分中的一些计算工作，例如求导数、求积分等的重要性日渐减弱，而微积分的语言功能和实践过程却越来越重要.对于非数学专业的理工科学生来说，原来的微积分教材太注重微积分的工具功能，而数学专业的数学分析教材又太注重细节，学时太长，因此我们编写了现在的教材.
在本教材中，我们在不影响总学时的情况下,适当加强了极限理论的内容和训练,使学生为进一步学好微积分理论打下坚实的基础.同时,将确界原理作为平台(基本假设)，给出了关于实数完备性的几个基本定理,使之满足微积分体系的需要.而对于初学学生不容易理解和掌握的内容,如有限覆盖定理等,则不作过多的论述与要求，从而避免冗长的论证和过于学究化的深究.我们比较详细地介绍了积分理论，证明了一元函数可积的等价定理以及二重积分的可积性定理，得到了只要函数 “比较好”(函数的间断点为零长度集(一元函数定积分)或零面积集(二元函数的二重积分))，积分区域边界也“比较好”(积分区域边界为零面积集(二元函数的二重积分))，一元函数定积分(二元函数的二重积分)一定存在.至于三重积分和曲线、曲面积分，我们采取了简化的方法，没有探究细节.
我们将常微分方程的内容放到上册，以便于其他学科(比如物理学)的学习.而级数则放到本书的最后.作为函数项级数的应用，我们在本书的最后证明了常微分方程初值问题解的存在唯一性定理.
微积分教材的理性与直观的关系一直是比较难处理的问题.过多地强调理性，可能会失去微积分本来的意图； 而过多地强调直观，又会使这么优秀的大学生失去了一次难得的理性思维训练，这种训练是高层次人才所必须经历的，而且我们的学生也非常愿意接受这种训练. 与国外的微积分教材比较强调直观相比，我们兼顾了数学的理性思维训练.与国内的微积分教材相比，我们结合了学生的实际情况(学习能力强，学习热情高)，适当地加强了教材与习题的难度，并考虑到理工科学生的背景，加强了应用.
本教材作为讲义已经在清华大学的很多院系使用过数次.上册与下册的基本内容分别使用75学时讲授,各辅以20~25学时的习题课.
本书是根据编者在清华大学微积分课程的讲义整理而成的.上册主要由刘智新编写,下册主要由章纪民编写,教材中的习题主要由北京邮电大学闫浩编写.在编写的过程中，得到了“清华大学‘985工程’三期人才培养项目”的资助和清华大学数学科学系领导的关心与帮助.编者的同事苏宁、姚家燕、郭玉霞、扈志明、杨利军、崔建莲、梁恒等老师在本书的编写过程中也给予了很多帮助和关心,借此机会,向他们一一致谢.
三、 关于微积分的学习
我们的学生经过小学、中学的数学学习，已经有一定的数学基础和技能，但是面对微积分这门严谨和理性的课程，多少都会有一些不适应.对学生而言，毅力和坚持是唯一的途径.对教师而言，耐心和细致也是必要的前提.任何教材都只是知识的载体，缺少了学生的毅力和教师的耐心，学好微积分是不可能的.
祝同学们学习进步！
编者
2014年7月于清华园
第1章实数系与实数列的极限
1.1实数系
习题 1.1
1.2数列极限的基本概念
习题1.2
1.3收敛数列的性质
习题1.3
1.4单调数列
习题1.4
1.5关于实数系的几个基本定理
习题1.5
第1章总复习题
第2章函数函数的极限与连续
2.1函数
2.1.1函数的概念
2.1.2函数的运算
2.1.3初等函数
2.1.4几个常用的函数类
习题2.1
2.2函数极限的概念
2.2.1函数在一点的极限
2.2.2函数在无穷远点的极限
习题2.2
2.3函数极限的性质
习题2.3
2.4无穷小量与无穷大量
习题2.4
2.5函数的连续与间断
习题2.5
2.6闭区间上连续函数的性质
习题2.6
第2章总复习题
第3章函数的导数
3.1导数与微分的概念
3.1.1导数
3.1.2微分
习题3.1
3.2求导法则
3.2.1导数的运算法则
3.2.2隐函数求导
3.2.3由参数方程所确定的函数求导法
习题3.2
3.3高阶导数
习题3.3
第3章总复习题
第4章导数应用
4.1微分中值定理
习题4.1
4.2洛必达法则
习题4.2
4.3泰勒公式
4.3.1函数在一点处的泰勒公式
4.3.2泰勒公式的应用
习题4.3
4.4函数的增减性与极值问题
4.4.1函数的增减性
4.4.2函数的极值
4.4.3最大值与最小值
习题4.4
4.5凸函数
习题4.5
4.6函数作图
4.6.1渐近线
4.6.2函数作图
习题4.6
第4章总复习题
第5章黎曼积分
5.1黎曼积分的概念
5.1.1积分概念的引入
5.1.2积分存在的条件
5.1.3函数的一致连续性
5.1.4可积函数类
习题5.1
5.2黎曼积分的性质
习题5.2
5.3微积分基本定理
习题5.3
5.4不定积分的概念与积分法
5.4.1不定积分的概念与基本性质
5.4.2换元积分法
5.4.3分部积分法
习题5.4
5.5有理函数与三角有理函数的不定积分
5.5.1有理函数的不定积分
5.5.2三角有理式的不定积分
5.5.3一些简单无理式的不定积分
习题5.5
5.6定积分的计算
习题5.6
5.7积分的应用
5.7.1平面区域的面积
5.7.2曲线的弧长问题
5.7.3平面曲线的曲率
5.7.4旋转体体积
5.7.5旋转曲面的面积
5.7.6积分在物理中的应用
习题5.7
第5章总复习题
第6章广义黎曼积分
6.1广义黎曼积分的概念
6.1.1无穷限积分
6.1.2瑕积分
习题6.1
6.2广义积分收敛性的判定
6.2.1无穷限广义积分收敛性的判定
6.2.2瑕积分收敛性的判定
习题6.2
第6章总复习题
第7章常微分方程
7.1常微分方程的基本概念
7.1.1引言
7.1.2常微分方程的基本概念
习题7.1
7.2一阶常微分方程的初等解法
7.2.1变量分离型常微分方程
7.2.2可化为变量分离型的常微分方程
7.2.3一阶线性常微分方程
习题7.2
7.3可降阶的高阶常微分方程
7.3.1不显含未知量y的方程
7.3.2不显含自变量x的方程
习题7.3
7.4高阶线性常微分方程解的结构
7.4.1高阶线性常微分方程
7.4.2二阶线性常微分方程求特解的常数变易法
习题7.4
7.5常系数高阶线性常微分方程
7.5.1常系数齐次线性方程
7.5.2常系数非齐次线性方程
7.5.3欧拉方程
习题7.5
7.6一阶线性常微分方程组
7.6.1一阶线性常微分方程组解的结构
7.6.2常系数一阶齐次线性常微分方程组的解法
习题7.6
第7章总复习题
部分习题答案
索引
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