本书首先系统地介绍数学模型的导出和各类定解问题的解题方法, 然后再讨论三类典型方程的基本理论. 这种处理方式, 便于教师授课时选讲和自学者选读. 书中内容深入浅出, 方法多样, 文字通俗易懂, 并配有大量难易兼顾的例题与习题.
本书可作为数学和应用数学、信息与计算科学、物理、力学专业的本科生以及工科相关专业的研究生的教材和教学参考书, 也可作为非数学专业本科生的教材(不讲或选讲第6章)和教学参考书. 另外, 也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员作为参考书.
第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简
1.1 典型方程的导出
1.1.1 守恒律
1.1.2 变分原理
1.2 偏微分方程的基本概念
1.2.1 定义
1.2.2 定解条件和定解问题
1.2.3 定解问题的适定性
1.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简
1.3.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简
1.3.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
习题1
第2章 Fourier级数方法——特征展开法和分离变量法
2.1 引言
2.2 预备知识
2.2.1 二阶线性常微分方程的通解
2.2.2 线性方程的叠加原理
2.2.3 正交函数系
2.3 特征值问题
2.3.1 Sturm—Liouville问题
2.3.2 例子
2.4 特征展开法
2.4.1 弦振动方程的初边值问题
2.4.2 热传导方程的初边值问题
2.5 分离变量法——Laplace方程的边值问题
2.5.1 圆域内Laplace方程的边值问题
2.5.2 矩形上的Laplace方程的边值问题
2.6 非齐次边界条件的处理
2.7 物理意义、驻波法与共振
习题2
第3章 积分变换法
3.1 Fourier变换的概念和性质
3.2 Fourier变换的应用
3.2.1 一维热传导方程的初值问题
3.2.2 高维热传导方程的初值问题
3.2.3 一维弦振动方程的初值问题
3.2.4 其他类型的方程
3.3 半无界问题：对称延拓法
3.3.1 热传导方程的半无界问题
3.3.2 半无界弦的振动问题
3.4 Laplace变换的概念和性质
3.5 Laplace变换的应用
习题3
第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法
4.1 弦振动方程的初值问题的行波法
4.2 d'Alembert公式的物理意义
4.3 三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式
4.3.1 三维波动方程的球对称解
4.3.2 三维波动方程的Poisson公式
4.3.3 非齐次方程、推迟势
4.4 二维波动方程的初值问题——降维法
4.5 依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥
4.6 Poisson公式的物理意义、Huygens原理
习题4
第5章 位势方程
5.1 Green公式与基本解
5.1.1 Green公式
5.1.2 基本解的定义
5.2 调和函数的基本积分公式及一些基本性质
5.3 Green函数
5.3.1 Green函数的概念
5.3.2 Green函数的性质
5.4 几种特殊区域上的Green函数及Dirichlet边值问题的可解性
……
第6章 三类典型方程的基本理论
附录一 积分变换表
附录二 参考答案
参考文献
书单推荐
