近世代数(又名抽象代数)是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是现代科学技术人员所必需的数学基础.本书介绍群、环、域的基本理论与应用.适用于数学与应用数学、计算机科学、无线电、物理、化学、生物医学等专业的本科生、研究生以及专业人员.
本书第1版和第2版自出版以后，以很好的可读性受到读者的欢迎，有的学生毕业后，从国外还写信提出宝贵意见.本书第1版同时也得到同行的支持与好评，曾荣获教育部优秀教材二等奖.本着与时俱进的精神，第3版将在保持原有特色的基础上，反映近世代数在科学技术中的最新应用，内容也更加完整，我们力求使它不仅是一本教材，而且是一本值得收藏的参考书.
修订情况
与第1版和第2版相比较，第3版主要作了以下修订.
第一，增加了一些新的应用实例.比如，在1.1节中增加了保密通信问题；在2.10节中增加了有关RSA密码系统的加密和解密变换的内容；在4.3节中增加了在密码学中很有用的离散椭圆曲线和离散对数的介绍.
第二，新增了第5章方程根式求解问题简介.在前两版中，虽然在第1章中都提及了这个著名的问题，但是并未作出完整回答.在第3版中，我们用一章的篇幅简要介绍了这个问题是如何解决的.
第三，为了便于学习，每章新增了一个小结，对全章的内容进行梳理和总结.
此外，第3版也对前两版个别表述进行了修改，对部分章节的内容作了不同程度的补充和调整，还增加了个别结论，在此不一一列举.
学习指导
第1章预备知识，读者应通读一下，即使有些内容不熟悉，也不要过多纠缠.第2章群论，是本书的核心内容，要仔细阅读和学习，并要注重掌握基本概念和基本的分析方法.学好了群论，对后面的环与域可起到举一反三的作用.第3章环论，在某种程度上可以说是群的推广，有许多类似的概念和定理，因此只需把注意力放在环和群的不同之处，可比较快地学完这一章.第4章域论，虽然域是环的一种，不必再去讨论一般理论，但由于域的扩张和有限域理论在近代科学中有很多应用，所以这一章的内容反而比较丰富.而第5章方程根式求解问题简介，在理论上不仅把群、环、域融合在一起，而且三者结合起来，解决了当初引发近世代数诞生的方程根式求解问题.但是如果时间有限，可把第5章作为选学或自学内容.
每节后的习题不可不做，也不一定全做，这是加深印象和测试学习效果的一个环节，先要独立思考，后面有提示可参考.每章后的小结列出这一章的精华，不仅起到概括总结、强调重点的作用，而且可作为今后查阅之用，这是本书具有收藏价值的一个方面.至于应用的例子，随个人的兴趣和专业可以有所舍取.
本书特点
把抽象的理论写得通俗有趣，但又不失数学的严格性，是本书写作过程中追求的目标及特点之一.近世代数是我们已有的代数知识的自然发展.从我们熟知的整数、有理数、实数出发，由此引出群、环、域的概念，起点是很初等的.我们把一些应用问题作为“引子”提出，每章都以问题的解决作为结局，使抽象的理论体现出很强的应用背景和效力.
另一特点是使读者用较少的时间学到最基本的内容，为此，每一节围绕一个中心问题，突出一两个定理，而把其他的内容作为相关的结论或例子给出，使读者对所学内容留下简洁清晰的印象.全书的主要内容适合48~60学时的教学要求.
第三个特点是“开放性”，传统的近世代数书比较强调自成系统，有的从整数的定义讲起，甚至连导数也要重新定义.本书采用“拿来主义”，一切学过的知识都可拿来就用，导数就是微积分中的导数，涉及初等数论、组合数学、图论、密码学等内容都即兴介绍.
本书的参考文献列于书后，特别要指出，本书参考了著名代数学家、中国科学技术大学教授曾肯成先生20世纪80年代初在清华大学数学系的讲课笔记，特此再次表示感谢.同时继续向所有关心、支持与提供宝贵意见的读者、同行和编辑表示衷心的感谢.
第1章引言和预备知识1
1.1几类实际问题1
1. 一些计数问题1
2. 数字通信的可靠性问题与保密性问题5
3. 几何作图问题7
4. 代数方程根式求解问题8
习题1.18
1.2集合与映射9
1. 集合的记号9
2. 子集与幂集9
3. 子集的运算10
4. 包含与排斥原理10
5. 映射的概念12
6. 映射的分类13
7. 映射的复合15
8. 映射的逆16
习题1.217
1.3二元关系18
1. 二元运算与代数系统18
2. 二元关系19
3. 等价关系、等价类和商集19
4. 偏序和全序22
习题1.324
1.4整数与同余方程24
1. 整数的运算25
2. 最大公因子和最小公倍数25
3. 互素29
4. 同余方程及孙子定理29
习题1.434
第1章小结35
第2章群论37
2.1基本概念37
1. 群和半群37
2. 关于单位元的性质39
3. 关于逆元的性质39
4. 群的几个等价性质40
习题2.145
2.2子群45
1. 子群45
2. 元素的阶48
习题2.249
2.3循环群和生成群，群的同构50
1. 循环群和生成群50
2. 群的同构51
3. 循环群的性质53
习题2.354
2.4变换群和置换群，Cayley定理55
1. 置换群56
2. Cayley定理60
习题2.462
2.5子群的陪集和Lagrange定理62
1. 子群的陪集62
2. 子群的指数和Lagrange定理64
习题2.566
2.6正规子群和商群67
1. 正规子群的概念67
2. 正规子群的性质68
3. 商群69
4. 单群71
习题2.671
2.7共轭元和共轭子群72
1. 中心和中心化子72
2. 共轭元和共轭类73
3. 共轭子群与正规化子74
4. 置换群的共轭类75
习题2.778
2.8群的同态79
1. 群的同态79
2. 同态基本定理80
3. 有关同态的定理82
4. 自同态与自同构85
习题2.886
2.9群对集合的作用，Burnside引理87
1. 群对集合的作用87
2. 轨道与稳定子群88
3. Burnside引理90
习题2.992
2.10应用举例92
1. 项链问题93
2. 分子结构的计数问题96
3. 正多面体着色问题97
4. 开关线路的计数问题98
5. 图的计数问题99
6. RSA密码系统的加密与解密变换101
7. 二次同余方程102
习题2.10104
2.11群的直积和有限可换群104
1. 群的直积104
2. 有限可换群的结构105
习题2.11108
2.12有限群的结构，Sylow定理108
1. p子群与Sylow p子群109
2. Sylow定理109
习题2.12112
第2章小结112
第3章环论116
3.1环的定义和基本性质116
1. 环的定义116
2. 环内一些特殊元素和性质118
3. 环的分类120
习题3.1121
3.2子环、理想和商环123
1. 子环123
2. 生成子环和生成理想126
3. 商环126
习题3.2128
3.3环的同构与同态129
1. 同构与同态129
2. 有关同态的一些定理130
3. 分式域132
习题3.3133
3.4整环中的因子分解134
1. 一些基本概念134
2. 既约元和素元135
3. 最大公因子135
习题3.4137
3.5惟一分解整环137
1. 惟一分解整环及其性质137
2. 主理想整环139
3. 欧氏整环141
习题3.5142
3.6多项式分解问题143
1. 本原多项式及其性质143
2. D［x］的分解性质144
3. 多项式的可约性判断146
习题3.6148
3.7应用举例148
1. 编码问题148
2. 多项式编码方法及其实现149
习题3.7153
第3章小结153
第4章域论155
4.1域和域的扩张，几何作图问题155
1. 域的特征和素域155
2. 扩张次数，代数元和超越元157
3. 添加元素的扩张158
4. 代数扩张与有限扩张159
5. 几何作图问题160
习题4.1163
4.2分裂域，代数基本定理164
1. 分裂域164
2. 代数基本定理168
习题4.2169
4.3有限域，有限几何170
1. 有限域的构造及惟一性170
2. 有限域的元素的性质172
3. Zp\[x\]中多项式的根174
4. 有限域的子域175
5. 有限域的自同构群175
6. 有限域上的元素和多项式的性质176
7. 有限几何177
习题4.3180
4.4单位根，分圆问题181
1. 单位根181
2. 分圆问题182
习题4.4185
第4章小结185
第5章方程根式求解问题简介188
5.1多项式的Galois群189
1. 域和多项式的Galois群189
2. 多项式的Galois群的置换表示190
3. 多项式的Galois群的阶191
4. 多项式的Galois群的计算192
习题5.1194
5.2群的可解性和代数方程的根式求解问题194
1. 群的可解性194
2. 可解群的性质196
3. 代数方程的根式可解性197
习题5.2198
第5章小结198
附录其他代数系简介199
1. 格与布尔代数199
2. 模的概念及例201
3. 代数201
习题202
习题提示与答案203
符号索引218
名词索引220
参考文献223
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