高等数学（上册）_李德新编著_9787030407092

高等数学．上册根据“工科类本科数学基础课程教学基本要求”及考研大纲,并结合教学实践的经验编写而成,其中各部分知识的展开和习题的安排都充分注意循序渐进的教学原则．本书分上、下两册．上册内容包括:函数、极限与连续,微分与导数,微分中值定理和导数的应用,定积分与不定积分,微元法与定积分的应用,微分方程,共6章．每节后均附有习题,每章末附有综合测试题．上、下册分别附有3套模拟试题．并给出了部分题目答案,供读者参考．

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第1章　函数、极限与连续
函数是相互依赖的变量之间的确定性关系,是高等数学研究的主要对象极限是函数的无穷变化趋势,是高等数学的理论基础和基本工具连续是函数的重要性态,是高等数学研究的许多问题的基本条件和桥梁本章我们先回顾初等数学中函数的有关知识,然后介绍极限的概念、性质、运算法则以及函数的一个重要性质即连续性学习本章时,需要注意的是极限理论与方法,它是人们从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变的最基本的思想方法,几乎贯穿了高等数学的全课程．
预备知识
在回顾复习函数的知识前,先介绍一些基础知识．
首先,引进常用的逻辑符号与关系符号如下:
符号.:表示“对每一个”,“任取”,或“任意给定”,它是英文 Any(每一个)或 Al
(所有

的)字头 A的倒写．符号.:表示“存在一个”,“至少有一个”或“能够找到”,它是英文 Exist(存在)的字头 E
的反写．符号.:表示“推出”或“蕴含”．符号.:表示“等价”或“充分必要”．符号＝Δ :表示“记为”．
Δ:
符号.表示“定义为”或“记为”．其次,给出变量、区间及邻域的概念．,可以取不同数值的在某一过程中保持不变的数量称为常量或常数,用字母Ab等表示;
数量称为变量,用字母x, 凡无特别说明,
y等表示今后,本书所言的数量都是指实数．只取有限个或可列无穷多个数值的变量称为离散型变量如价格、产值等所谓可列无穷多个数值,是指这无穷多个数值可以写成一个无穷数列的形式,如数值1,2,3,,以及
111,等可以取某区间上任何数值的变量称为连续型变量,如温度、时间等所谓
2,4,8 A,闭区间[b],,和[b);区间可以是有限区间,如开区间(b),,半开半闭区间(b],也可以是无限区间,如(,＋∞),(－∞,或(－∞,＋∞ 等在不需要细分的情A各种区间统称
Ab])A况下,A
区间 ,常用I表示．为了研究变量的局部变化状态,今后还常用到邻域的概念．若δ是正数,称开区间(为点A的δ邻域,记作U(,δ),即
A－δ,＋δ)AU(,＝Aδ,＝ x||xA
Aδ)(A－A＋δ){－A|δ＜)δ}其中点A称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径邻域U(,表示与点A的距离小于δ 的一切点 x的全体 (图1Ｇ0Ｇ1)．

图1Ｇ0Ｇ1
任何有限开区间都可视为邻域例如 ,区间 (－1,3)＝U(1,2)．
若把邻域 U(A,的中心点去掉 ,记作 UAδ),δ)所剩下的部分称为点 A的去心 δ邻域 ,.(,即
U.(,＝－)∪ (A＋δ){－|＜δ}
Aδ)(δ,,＝ x|0＜|xAA－AAA＋δ)
　　开区间 (δ,)称为点AA的左δA邻域,(A,称为点 A的右 δ邻域．在不必指明邻域的半径时 ,可把以点 A为中心的任何开区间称为点 A的邻域 ,记作
U(A),A的中心点去掉后所剩下的部分称为点 A的去心邻域 ,.()
把邻域 U()记作 UA．
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学初等数学主要是对数量关系和空
间形式作静止的分析 ,而高等数学则着重于以动态的观点作研究简单地说 ,高等数学就是
研究变量变化规律的学科不过 ,高等数学研究的变量一般不是指孤立的某个变量 ,而是若
干个相互依赖、相互制约的变量同一变化过程中若干个相互依赖、相互制约的变量之间所
具有的确定性的关系 ,实质上就是函数．
§11　函数概述
一、函数的基本概念
定义　设x和y是两个变量 ,D是数集若.x∈D,
y按照一定的法则总有确定的数值与之对应 ,则称 y是x的函数 ,记为
x),x),其中 x称为自变量 ,y称为因变量 ,D()f()
y＝f(x∈D　或　y＝y(x∈D
或记成 Df称为函数的定义域 ,或f称为函数的对应法则．在函数定义中 ,.x∈D,对应的 y值是确定的 ,但y值不一定是唯一的若.x∈D,
y
有且只有一个值与它对应 ,则这类函数称为单值函数 ;y可以有多个值与它对
若 .x∈D,应,则这类函数称为多值函数例如 ,设x和y之间的对应法则由方程 y2＝x给出 ,当x≥0
时有 y＝±
与之对应 ,因此是一个多值函数对于多值函数 ,如果附加一些条件 ,可使得在此附加条件下 ,对每个 x∈D,对应的 y值是唯一的 ,即为一个单值函数例如 ,对于 y2＝
x,附加条件 y≥0 ,就得到一个单值函数 y＝
;若附加条件 y≤0 ,就得到另一个单值函数
y＝－
由于多值函数可以分解为多个单值函数来研究 ,因此 ,今后凡是没有特别说明时,函数都是指单值函数．x)称为函数 f(在xA点当自变量在定义域内取某一数值 A时,函数 f(的对应值 ,x)＝处的函数值 ,记为 f()或y当自变量取遍定义域内的一切数值时 ,相应的函数值的全
A|x＝A体称为函数的值域 ,记为 W或Wf,即
{x),　　函数定义中 ,包含了自变量、因变量、定义域、对应法则和值域这几个因素 ,其中定义域 D与对应法则 f称为函数的两要素．
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围在实际问题中 ,函数的定义域是根据问题的实际意义来确定的比如 ,圆的面积 A是半径 R的函数 A＝π R2,其定义域为 R＞0 若不考虑函数的实际意义 ,而抽象地研究用算式表达的函数 ,这时函数的定义域是使函数中的所有算式都有意义的自变量的全部取值．
W＝ y|y＝f(x∈D}
1
－x111[()()111AB1＋∞ D1＋∞ ,,,,,．．．eee、、D这是一道四选一的单项选择题请读者用直推法特取法淘汰法自行求解答案是 ,、今后对高等数学的单项选择题还可用反演法图解法和估值法等解答,．()f函数的两要素中对应法则是表示自变量与因变量之间关系的是函数的核心 ,,(f理解这个核心的直观方法是把对应法则看作是一部机器若在函数的定义域中 ,x,()f把视为机器的输入放进机器则通过机器的处理产生了一个输出当然函数的定x,,x;义域就被看作是一切允许输入的集合函数的值域被看作是一切可能输出的集合在计算器中预先编好程序的函数是把函数看作机器的一个很好例证例如在普通计算器上都有,,　键它表示进行开平方运算的函数要对一个数进行开平方运算首先输入到计算x,,　≥0＜0;器的显示屏然后按下键当时函数值即被显示出来当时由于不在,x,x,x
x)当

开平方函数的定义域内 ,即这个 x是一个不被认可的输入 ,计算器将在显示屏上显示错误

[
信息实际上 ,函数的 “函”就带有 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”的意思 ,因而函数的对应法则 ,可
÷.C．
÷.∪
看成是将输入的数字进行变化后再输出的一种特殊的 “袋子 ”、“盒子 ”、“箱子 ”．两个函数只有当它们的定义域相同 ,且对应法则也相同时 ,才称这两个函数是相同的．

nx()　　　 1例函数的定义域是＝y.÷ . 223
注　函数与自变量和因变量所采用的表示符号无关．
例如 ,x－1不是同一个函数 ,因为定义域不同 ;x－1与yx－1
y＝x＋1与y＝－1y＝ x－1＝ x－1
è
也不是同一个函数 ,因为对应x法则不同 ;而y＝sin2x与u＝sin2v是相同的函数．为了表示 y是x的函数 ,所采用的记号并不唯一但是 ,若同时研究多个不同的函数 ,为了避免混淆 ,则不能用同一个记号来表示不同的函数．表示函数的方法 ,通常有公式法、图像法和表格法三种 ,另外还可以用语言文字的叙述表示 ,用电子计算机的语言表示等将公式法和图像法结合起来 (数形结合法 ),仍然是今后经常用到的一种分析处理问题的基本方法在平面直角坐标系 xO函数 yf(的图像 (是
y中,＝ x)或图形 )
指点集

{(x,x),可简记为 C:y＝f(x∈D显然 (图1Ｇ1Ｇ1),函数的图像在 x轴和y轴上的投影分别就是函数的定义域和值域例如 ,线性函数 y＝kx＋b是一条斜率为 k,在y轴上的截距为 b的直线 ;二次函数图1Ｇ1Ｇ1
C＝x),y)|y＝f(x∈D},
2(b,A－2,b
y＝Ax＋bx＋cA≠0 )是一条顶点为－4cb对称轴为 x＝－的抛物线．
2A4A 2A
必要的修改后获得图像．
二、函数的基本特性
f
即x∈I.－x∈I)－x)＝－f(－x)＝f(
÷.è.:函数作图的一般方法研究函数性质描出一些特殊点连线作图并根据函数性质进行,,、、在函数的性质中奇偶性周期性单调性和有界性是比较简单的这些特性与函数图像,,的某种特征相匹配也可以说是函数的几何特性．x,(),()IIDDIf在区间上有定义的一部分设函数可以是整个定义域也可以是关x,f(()(()),∈Iff于原点对称若恒有或则x,xx1),23;C例如是常数都是偶函数都＝＝cs＝＝snxx,,x,,xyyyy2(()ff则称是周期函数的一个周期,x．TTff若为的一个周期则正整数都是的周期若在周期中存在最小的正值,nn,就称它为最小正周期通常周期函数的周期是指最小正周期,．i2πi2|i|π;例如的周期是的周期是＝sn＝cos＝sn＝sn,x,xx,x．)(.∈I＜f若xx,x2(()If则称在上单调增加的或,x)()()单调减少区间单调增加和单调减少的函数或区间统称为单调函数或单调区间．()()ff((21　∈IIf＞注在上单调增加当时恒有,,x,122())()I＜或在上的图像是渐升或渐降的x．[)(]()20＋∞－∞0－∞＋∞;在例如上单调增加在上单调减少而在内函＝,,,,,,y2数不是单调的可见函数的单调性具有局部性＝x,y．)(|≤.Kfxxx1x
称f(x)是区间 I上的奇函数 (或偶函数 )．注　f()或偶函数 )x∈I,－)±f()0. f()在I上
在I上是奇函数 (恒有 f(xx＝x的图像关于原x点(或y轴)对称．
C(＝ y||,＝ oyxyx＝i
是奇函数 y;＝kk≠0 ,yA2＋bc(b≠0 ),＝x,ylx都是非奇非
y＝ x＋b(b≠0 ),＝ xx＋ A≠0 ,y2 ＝n偶函数 ;0既是奇函数又是偶函数．设函数 f()若.T＞0 ,有(且恒有 f(＝
x),x的定义域为 D,使得 .x∈D,x＋T)∈D,x＋T)
注　f(周期为 Tx∈I,x)x)的图像在相邻的每个长
x)恒有 f(
度为 T的区间上完全相同．

x)T为f(x＋T)－f(＝0. f(
,
yyyy设函数 f()在区间 I上有定义 ,1,x2 当x1＜x2时恒有 f(1 x)(或 f()＞f()),x)或单调减少 )I为f(的一个单调增加 (
x)或减少 )xx1≠xx－xx2－x1
0. f(
函数的单调性是相对于有定义的某区间而言的 ,只有在整个定义域上单调的函数 ,在指明其单调性时才可以把相应的单调区间省略 ,如y＝ey＝lnx是单调增加函数．
x,
设函数 f()在区间 I上有定义 ,若 .常数 M(或 m),使得 .x∈I,恒有 f(或
x)≥m),xx)或有下界 ),或 m)x)x)≤M(
f(则称 f(在I上有上界 (数 M(称为 f(在I上的一个上界 (或下界 )x)则称 f(在I上有界或f(是I上的有界
若f(在I上既有上界又有下界 ,x)x)函数否则 ,称f()在I上无界．
x注　f()在I上有界 K＞0 ,使得 .x∈I,恒有 |f(x)在I上的图像介
于两条平行于 x轴的水平线之间．
yx在(1)在[上无界 ;＝1 0,无界 ,
如,＝ 0,上有界 ,1,＋∞ )yx在(1)在[1,＋∞ )上有界．
函数的有界性仍然与区间有关 ,只有在整个定义域上讨论有界性时 ,才可以省略具体的区间如y＝sinx和y＝cos2x是有界函数．有界性定义中的上界 (或下界 ),即常数 M(或m)可以不唯一 ,可以不必是 f(或 f(成立的最小 (值．x)≤M(
x)≥m)或最大 )
思考 :这两者是否等价 ?

f在I上有最大最小值与 f在I上有界 ,
三、函数的基本运算
函数的基本运算包括四则运算 ,复合运算和反演运算三类．
xx

对常数 k,函数 f()和g()施行的以下运算
f(f(),x)),x)
x),)±g(f(g(f(
kxxx
x)称为函数的四则运算 ,所得到的函数分别称为函数 f(的乘数函数 ,函数 f(与g(的和、差函数 ,积函数 ,商函数．x)x)x)
函数经四则运算后 ,生成的新的函数的定义域一般是各构成函数的定义域的交集 ,而对f(
g(
x)
商函数 g(其定义域是 {|f∩D,g(．
x),xx∈Dgx)≠0 }
如,由正弦函数 sinx,余弦函数 cosx,可得到正切函数 tAnx＝sinx,余切函数 cotx＝
cosxcosx 11 22
sinx,正割函数 secx＝cosx,余割函数 cscx＝sinx由此并结合 sinx＋c osx＝1,可推出
1＋t An2 ＝sec2x,1＋c ot2 ＝csc2 ．注　把x一个复杂的函数x分解成x若干个简单的函数的四则运算 ,这个过程称为函数的分项(这里把乘除的因式也看作项 )如函数 x(
同一个函数可能有不同的分项方法 ,x＋1 ),既可以当成 x2与x的和 ,也可当成 x与x＋1的积函数的分项方法是高等数学中较基本的化简方法．
设y是u的函数 y＝f(),定义域为 Df,而u是x的函数 u＝g(x),且在 I上有定义 ,若W＝{u|＝ x),,uf,y通过 u的联系便成为 x的函数 ,
ug(x∈I}且W.D那么 ,.x∈I,这个新的函数称为由函数 y＝f()和u＝ x)复合而成的复合函数 ,记为 yf[x)],其中 ,
ug(＝ g(y＝ u)称为外层函数 ,＝g(称为内层函数 ,
f(ux)u称为中间变量由已知函数获得复合函数的运算过程称为复合运算．通俗地理解 ,复合函数就是函数套函数复合函数也可以由两个以上的函数经过复合而成 ,如y＝esin
就可以看作是由三个函数 yeu,＝ivv
复合而成的要注意 ,不
＝ usn,＝ y
是任何两个函数都能复合成一个复合函数的例如 ,＝
及u＝－x2－1就不能复合 (请思考这是为何 ?)．注　把一个复杂的复合函数分解成若干个简单的函数的复合运算 ,这个过程称为函数的分层复合函数的复合运算过程是由内到外进行的 ,而分层过程与复合运算过程恰好是
反序的———由表及里逐步设中间变量,因此,复合函数的分层俗称剥皮法正确而熟练掌握这一方法,将给今后学习带来很多方便另外,研究复合函数时,还常常用到换元法(变量替换法)和还原法．
例2　设f1＝x＋1 x)
－2,求f(．
思路　利用换元x法,x结合函数与变量记号无关的特性．

u
故f(1＋x

例3　设fx－1 ＝3－x2－12,求f(sinx)．
xx
è
.÷ .
è 1＋1111＋uu()　f解令则由题设得＝＝＝＝u,x,u112 ．－xuu2－)＝x12 ．－xè 1112　3思路若令不便求出可把直接还原成的表达式－＝－－－xu,x,xx．2xxx2111()　32112ff解因为所以－－＝－－＝－＝－xx,xuu．2èèxxx()22i1if故有 sn＝－sn＝cosxxx．(){),)(},(.∈|∈WIIfff设函数若通过都在区间上有定义＝＝＝＝xxx,xyyyyy(),有唯一确定的与对应则得到一个以为自变量该函数为因变量的函数＝xxx,,yygy(),)()(()1ff－的反函数由已知函数获称为函数习惯上写成并记为＝＝＝,xxxxgyyg)).f所以函数与其反函数的图像关于直线＝＝＝xyyy()　2－∞ 0注单调区间上的函数一定有反函数比如函数在内的反函数为＝＝,x,yy()l＞0 －∞ ＋∞ ＞0;函数的反函数为在e－＝＝nxxx,x,,yy．itt三角函数在包含锐角的单调区间上即函数＝sncsnc＝o＝A＝ox,x,x,x,yyyyππ[],i0πso,x,x,,－＝y22 ππ().0π∈∈ttAnco,x,xx,x,,－y＝y＝.22è 的反函数依次记为,],[[],i1111∈∈ArcArc
ssnox,,x,xx,＝－＝－yy()),(∞∞∞∞∈∈tt＋＋ArnAocArc
xx,,x,,x＝＝－－yyππ5.　　1iπt如由反三角函数的定义可得ArcAn＝Arc
os
n－＝,,,÷346 ．.()、()()利用函数的四则运算分项法复合运算分层法和反演运算反演法这些基本运算研究函数的某些性质有时可以起到化繁为简的作用,．,()以函数奇偶性的四则运算为例不难证得在共同有定义的对称区间内函数的奇偶性,;＋＋＋奇奇奇偶偶偶奇偶非奇非偶＝＝＝,,
.÷ .
]
得反函数的运算过程称为反演运算．由于f(－1(x,x是对称的．
.÷ ÷ .
.÷ .

x
nx∈,y＝csx∈[
有如下的运算规律:

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