《物理学中的群论》第三版分两篇出版, 《物理学中的群论――李代数篇》是李代数篇, 但仍包含有限群的基本知识. 《物理学中的群论――李代数篇》从物理问题中提炼出群的概念和群的线性表示理论, 通过有限群群代数的不可约基介绍杨算符和置换群的表示理论, 引入标量场、矢量场、张量场和旋量场的概念及其函数变换算符, 以转动群为基础解释李群和李代数的基本知识和半单李代数的分类, 在介绍单纯李代数不可约表示理论的基础上, 推广盖尔范德方法, 讲解单纯李代数**权表示生成元、表示矩阵元的计算和状态基波函数的计算. 《物理学中的群论――李代数篇》附有习题, 与《物理学中的群论――李代数篇》配套的《群论习题精解》涵盖了习题解答.
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《物理学中的群论――李代数篇》适合作为粒子物理、核物理和原子物理等专业研究生的群论教材或参考书, 也可供青年理论物理学家自学群论参考.
第1章群的基本概念
群论是研究系统对称性质的有力工具.本章首先从系统对称性质的研究中，概括出群的基本概念.通过物理中常见的对称变换群的例子，使读者对群有较具体的认识.然后，引入群的各种子集的概念?群的同构与同态的概念和群的直接乘积的概念.
1.1对称
对称是一个人们十分熟悉的用语.世界处在既对称又不严格对称的矛盾统一之中.房屋布局的对称给人一种舒服的感觉，但过分的严格对称又会给人死板的感觉.科学理论的和谐美，其中很大程度上表现为对称的美.在现代科学研究中，对称性的研究起着越来越重要的作用.
我们常说，斜三角形很不对称，等腰三角形比较对称，正三角形对称多了，圆比它们都更对称.但是，对称性的高低究竟是如何描写的呢?
对称的概念是和变换密切联系在一起的，所谓系统的对称性就是指它对某种变换保持不变的性质.保持系统不变的变换越多，系统的对称性就越高.只有恒等变换，也就是不变的变换，才保持斜三角形不变.等腰三角形对底边的垂直平分面反射保持不变，而正三角形对三边的垂直平分面反射都保持不变，还对通过中心垂直三角形所在平面的轴转动角的变换保持不变.圆对任一直径的垂直平分面的反射都保持不变，也对通过圆心垂直圆所在平面的轴转动任何角度的变换保持不变.因为保持圆不变的变换*多，所以它的对称性**.
量子系统的物理特征由系统的哈密顿量(Hamiltonian)决定，量子系统的对称性则由保持系统哈密顿量不变的变换集合来描写.例如，N个粒子构成的孤立系统的哈密顿量为
其中，rj和mj是第j个粒子的坐标矢量和质量，r2j是关于rj的拉普拉斯(Laplace)算符，U是两个粒子间的二体相互作用势，它只是粒子间距离的函数.拉普拉斯算符是对坐标分量的二阶微商之和，它对系统平移?转动和反演都保持不变.作用势只依赖于粒子间的相对坐标**值，也对这些变换保持不变.若粒子是全同，哈密顿量还对粒子间的任意置换保持不变.这个量子系统的对称性质就用系统对这些变换的不变性来描述.
保持系统不变的变换称为系统的对称变换，对称变换的集合描写系统的全部对称性质.根据系统的对称性质，通过群论方法研究，可以直接得到系统许多精确的?与细节无关的重要性质.
1.2群及其乘法表
1.2.1群的定义系统的对称性质由对称变换的集合来描写.我们先来研究系统对称变换集合的共同性质.按照物理中的惯例，两个变换的乘积RS定义为先做S变换，再做R变换.显然，相继做两次对称变换仍是系统的对称变换，三个对称变换的乘积满足结合律.不变的变换称为恒等变换E，它也是一个对称变换，并与任何一个对称变换R的乘积仍是该变换R.对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换.上述性质是系统对称变换集合的共同性质，与系统的具体性质无关.把对称变换集合的这些共同性质归纳出来，得到群(group)的定义.
定义1.1在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群.
(1)集合对乘积的封闭性.集合中任意两元素的乘积仍属此集合:
(2)乘积满足结合律:
(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变
(4)任何元素R的逆R.1存在于集合中，满足
作为数学中群的定义，群的元素可以是任何客体，元素的乘积法则也可任意规定.一旦确定了元素的集合和元素的乘积规则，满足上述四个条件的集合就称为群.系统对称变换的集合，对于变换的乘积规则，满足群的四个条件，因而构成群，称为系统的对称变换群.在物理中常见的群大多是线性变换群?线性算符群或矩阵群.
如果没有特别说明，当元素是线性变换或线性算符时，元素的乘积规则都定义为相继做两次变换;当元素是矩阵时，元素的乘积则取通常的矩阵乘积.在群的定义中，群元素是什么客体并不重要，重要的是它们的乘积规则，也就是它们以什么方式构成群.如果两个群，它们的元素之间可用某种适当给定的方式一一对应起来，而且元素的乘积仍以此同一方式一一对应，常称对应关系对元素乘积保持不变，那么，从群论观点看，这两个群完全相同.具有这种对应关系的两个群称为同构(isomorphism).
定义1.2若群G0和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构.用符号表示，若R和，必有，则G0.G，其中符号代表一一对应，“.”代表同构.
互相同构的群，它们群的性质完全相同.研究清楚一个群的性质，也就了解了所有与它同构的群的性质.在群同构的定义里，元素之间的对应规则没有什么限制.但如果选择的规则不适当，使元素的乘积不再按此规则一一对应，并不等于说，这两个群就不同构.只要对某一种对应规则，两个群符合群同构的定义，它们就是同构的.
从群的定义出发，可以证明，恒元和逆元也满足
RE=R; (1.6)
第二个式子表明元素与其逆元是相互的.由此易证群中恒元是**的，即若E0R=R，则E0=E.群中任一元素的逆元是**的，即若SR=E，则S=R.1.于是，恒元的逆元是恒元，和(RS).1=S.1R.1.作为逻辑练习，习题第1题让读者证明这些结论.证明中除群的定义外，不能用以前熟悉的任何运算规则，因为它们不一定适合群元素的运算.下面我们认为这些结论已经证明，可以应用了.
一般说来，群元素乘积不能对易，RS6=SR.元素乘积都可以对易的群称为阿贝尔(Abel)群.若群中至少有一对元素的乘积不能对易，就称为非阿贝尔群.元素数目有限的群称为有限群，元素的数目g称为有限群的阶(order).元素数目无限的群称为无限群，如果无限群的元素可用一组连续变化的参数描写，则称为连续群.
把群的子集，即群中部分元素的集合看成一个整体，称为复元素.作为集合，复元素不关心所包含元素的排列次序，且重复的元素只取一次.两复元素相等的充要条件是它们包含的元素相同，即R=S的充要条件是R.S和S.R.普通元素和复元素相乘仍是复元素.TR是由元素TRj的集合构成的复元素，而RT则由元素RjT的集合构成.设S=Sng，两复元素的乘积RS是所有形如RjSk的元素集合构成的复元素.上面出现的元素乘，如TRj，RjT和RjSk，均按群元素的乘积规则相乘.复元素的乘积满足结合律.如果复元素的集合，按照复元素的乘积规则，符合群的四个条件，也构成群.
定理1.1(重排定理)设T是群中的任一确定元素，则下面三个集合与原群G相同:
证明以TG=G为例证明.对群G任何元素R，有TR2G，因而TG.G.反之，因为R=T(T.1R)，而，所以.证完.
对于有限群，群元素数目有限，因此有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表，称为群的乘法表(multiplication table)，简称群表.为了确定起见，对于RS=T，今后称R为左乘元素，S为右乘元素，而T为乘积元素.乘法表由下法建立:在表的*左面一列，把全部群元素列出来，作为左乘元素，在表的*上面一行，也把全部群元素列出来，作为右乘元素，元素的排列次序可以任意选定，但常让左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在**位.表的内容有格，每一格填入它所在行*左面一列的元素R(左乘元素)和它所在列*上面一行的元素S(右乘元素)的乘积RS.因为恒元与任何元素相乘还是该元素，如果把恒元排在表中**个位置，则乘法表内容中**行和右乘元素相同，**列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘积元素中每一行(或列)都不会有重复元素.乘法表完全描写了有限群的性质.
我们先来看二阶群和三阶群的乘法表.当把**列和**行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全确定了表中各位置的填充，如表1.1和表1.2所示.因此准确到同构，二阶群只有一种，三阶群也只有一种.
表1.1二阶群的乘法表
在二阶群中，可让e代表恒等变换，代表空间反演变换，则这是对空间反演不变的系统的对称变换群，常记为V2.也可让e代表数1，.代表数按普通的数乘积，它们也构成二阶群，记为C2.这两个群是同构的.对三阶群有.
表1.2三阶群的乘法表
按右手螺旋法则，绕沿空间方向的轴转动角的变换记为，其中μ和'是^n方向的极角和方位角，尖角^表单位矢量.设R=R(^n;2 =N)，R及其幂次的集合
定义元素乘积为相继做变换，则此集合满足群的定义，构成群.一般说来，由一个元素R及其幂次构成的有限群称为由R生成的循环群，R称为循环群的生成元.CN是N阶循环群，生成元R常记为CN，称为N次固有转动，或简称N次转动.此转动轴常称为N次固有转动轴，简称N次轴.
N次转动和空间反演.的乘积记为SN，SN=.CN=CN.，称为N次非固有转动.由SN及其幂次构成的循环群记为CN，此转动轴称为N次非固有转动轴.CN群的阶是N，CN群的阶，根据N是偶数或奇数，分别是N或2N.
循环群中元素乘积可以对易，因而循环群是阿贝尔群.循环群生成元的选择不是**的，如循环群CN中，CN和CN.1N都可作生成元.循环群的乘法表有共同的特点，当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而*左面的元素移到*右面去.
现在来研究四阶群的乘法表.四阶循环群C4的乘法表如表1.3所示，其中R的自乘和T的自乘都不等于恒元，它们的四次幂才是恒元.如果四阶群中所有元素的自乘都是恒元，由于重排定理，这样的四阶群乘法表只能如表1.4所示.设和分别是空间反演?时间反演和时空全反演，则此群称为四阶反演群V4.也由于重排定理，四阶群中除恒元外的任一元素的三次幂不能等于恒元.因此，准确到同构，四阶群只有两种:如果群中所有元素自乘都是恒元，它就与V4群同构;否则，它就与C4群同构.
表1.3四阶循环群C4的乘法
表1.4四阶反演群V4的乘法表
1.2.2子群
群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满足群的四个条件，则称为群G的子群(subgroup).注意，乘积规则是群的*重要的性质，如果给子集元素重新定义新的乘积规则，那它就与原群脱离了关系，即使此子集构成群，也不能称为原群的子群.任何群都有两个平庸的子群:恒元和整个群.但通常更关心非平庸子群.
既然有限群的元素数目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，当幂次足够高时必然会有重复.由群中恒元**性知，有限群任一元素的自乘若干次后必可得到恒元.若Rn=E，n是R自乘得到恒元的**幂次，则n称为元素R的阶，R生成的循环群称为元素R的周期.元素的周期构成子群，称为循环子群(cyclicsubgroup).阶数为n的循环子群，通常就记为Cn，必要时用撇来加以区分.恒元的阶为1，其他元素的阶都大于1.不同元素的周期也可有重复或重合.请注意不要混淆群的阶和元素的阶这两个不同的概念，只有循环群生成元的阶才等于该群的阶.
如何来判定一个子集是否构成子群?既然子集元素满足原群的元素乘积规则，结合律是显然满足的.如果子集对元素乘积封闭，则它必定包含子集中任一元素的周期，对有限群来说，元素R的周期包含了恒元和逆元R.1，因此对有限群，检验子集是否满足封闭性就可以判定子集是否构成子群.当然对无限群，判定子群还必须检验恒元和逆元是否在子集中.不含恒元的子集肯定不是子群，这是否定子集为子群的一个*简单判据.
有限群中任一元素R的周期构成群中一个子群.若此子群尚未充满整个群，则在子群外再任取群中一元素S，由R和S所有可能的乘积构成一个更大的子群.若它还没有充满整个群，则再取第三个?第四个元素加入上述乘积，*后总能充满整个有限群，即群中所有元素都可表为若干个元素的乘积.适当选择这些元素，使有限群中所有元素都可表为尽可能少的若干个元素的乘积，这些元素称为有限群的生成元，生成元不能表成其他生成元的乘积.有限群生成元的数目称为有限群的秩.
1.2.3正N边形对称群
把正N边形放在xy平面上，中心和原点重合，一个顶点在正x轴上.保持正
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