本书主要介绍数值分析与算法，包括误差分析、非线性方程求根、线性代数方程组的直接解法、向量范数与矩阵范数、线性代数方程组的迭代解法、插值、最小二乘与函数的最佳逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、三角插值与快速Fourier变换、不适定问题与Tikhonov正则化方法等。
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目录
前言
第1章绪论1
11数值分析1
12误差2
121误差的概念2
122误差的来源4
123误差的运算5
124有效数字5
13病态问题与数值稳定性6
131病态问题6
132数值稳定性8
133避免误差的若干原则8
习题110
第2章非线性方程求根12
21二分法12
22简单迭代法及其收敛性15
221简单迭代法15
222简单迭代法的收敛性17
223简单迭代法的收敛阶20
224迭代法的加速方法22
23Newton迭代法25
231Newton迭代格式25
232Newton迭代法的收敛性27
233Newton迭代法的变形29
习题232
第3章线性代数方程组的直接解法33
31线性代数方程组应用举例34
311最小二乘拟合34
312微分方程的数值求解问题35
313热传导方程逆时问题36？
32消元法37
321三角方程组的求解方法37
322Gauss消元法38
323选主元消元法45
324消元法与矩阵分解48
325矩阵求逆与Gauss-Jordan消元法51
33矩阵的三角分解54
331Doolittle分解54
332Courant分解58
333带状对角矩阵的三角分解与追赶法59
334正定矩阵的三角分解62
习题365
第4章向量与矩阵范数67
41向量范数67
411向量范数67
412向量范数性质69
42矩阵范数70
421矩阵范数70
422误差分析与矩阵的条件数75
423矩阵序列78
习题481
第5章线性代数方程组的迭代解法83
51Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法85
511Jacobi迭代法及其收敛性85
512Gauss-Seidel迭代及其收敛性89
52松弛迭代法93
53基于变分原理的迭代法97
531最速下降法97
532共轭梯度法99
习题5103
第6章插值105
61插值概念105
611插值的定义105
612插值函数的存在唯一性106
62Lagrange插值108？
621线性插值和抛物线插值108
622n次Lagrange插值多项式110
623插值余项与误差估计112
63Newton插值117
631差商及其计算118
632Newton插值多项式120
64差分与等距节点的Newton插值123
641差分及其性质124
642等距节点的Newton插值多项式125
65Hermite插值126
66分段低次插值130
661Runge现象130
662分段线性插值131
663分段三次Hermite插值132
67三次样条插值133
671三次样条函数和三次样条插值133
672三次样条插值的m关系式135
673三次样条插值的M关系式136
习题6140
第7章最小二乘与函数的最佳逼近142
71曲线拟合的最小二乘法142
711曲线拟合142
712形如aebx的曲线拟合148
72正交多项式149
721内积与正交多项式149
722Legendre多项式152
723Chebyshev多项式154
724无穷区间上的正交多项式155
725基于正交多项式的最小二乘法156
73函数最佳平方逼近158
731平方逼近158
732最佳平方逼近多项式160
习题7162
第8章数值积分与数值微分164
81数值积分概述164？
811数值积分的概念164
812插值型数值积分公式166
813代数精度与待定系数法168
82Newton-Cotes数值积分公式172
821Newton-Cotes数值积分172
822Newton-Cotes数值积分公式的代数精度和误差174
83复化数值积分176
831复化梯形公式177
832复化Simpson公式178
833数值积分的自适应算法181
84外推方法与Romberg积分184
841节点加密与事后误差估计184
842外推方法186
843Euler-Maclaurin展开187
844Romberg积分189
85Gauss型数值积分公式192
851基本概念与性质192
852常用的Gauss型数值积分公式198
86数值微分202
861差商型数值微分公式202
862基于插值的数值微分方法204
863数值微分的外推方法207
习题8208
第9章常微分方程数值解法211
91Euler方法212
911Euler公式及其几何解释212
912收敛性与误差分析217
92Runge-Kutta方法219
921基于Taylor展开的单步方法219
922Runge-Kutta方法222
923单步方法的收敛性和稳定性228
93线性多步法232
931基于数值积分的线性多步法232
932线性多步法构造的待定系数法236
933Adams公式237？
94隐式格式的迭代与预测-校正237
941隐式差分格式的迭代237
942隐式差分格式的预测-校正238
95方程组与高阶方程的数值解法242
951一阶方程组的数值解法242
952高阶常微分方程的数值解法243
96边值问题的数值解法244
961常微分方程边值问题244
962边值问题的“打靶法”246
963直接差分方法248
习题9249
第10章矩阵特征值的计算方法252
101幂法252
1011幂法253
1012反幂法256
102Householder矩阵与Givens矩阵,QR分解257
1021Householder矩阵257
1022Givens矩阵260
1023矩阵的QR分解263
103Jacobi方法与Givens-Householder方法264
1031Jacobi方法264
1032Givens-Householder方法268
104一般矩阵特征值的QR方法272
1041QR方法272
1042Hessenberg矩阵及其QR分解274
1043带位移的QR方法278
习题10279
第11章三角插值与快速Fourier变换281
111三角插值281
112快速Fourier变换286
1121离散Fourier分析286
1122快速Fourier变换(FastFouriertransform)288
习题11291
第12章不适定问题与Tikhonov正则化方法293
121奇异值分解293？
122Tikhonov正则化方法298
1221Tikhonov正则化298
1222Tikhonov正则化参数的选取方法300
123数值微分的Lanczos方法303
1231一阶数值微分的Lanczos方法303
1232二阶数值微分的Lanczos方法307
1233数值实验308
124一类抛物型方程源项反演309
1241问题的数学模型310
1242源项反演的正则优化方法310
1243数值实验314
125重建声柔散射体的牛顿迭代法317
1251逆散射问题的数学模型318
1252基于分解方法的牛顿迭代法319
1253数值实验322
习题12323
参考文献325
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