复变函数与积分变换(第2版)
本书系统地讲述了复变函数与积分变换的基本理论和方法。全书共分9章,内容包括复数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数理论及其应用、保形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换以及
解析函数在平面场的应用等。每章配备了适当的例题和习题,书后附有习题答案或提示。
本书内容丰富,通俗易懂,可作为理工科院校(非数学专业)“复变函数”或“复变函数与积分变换”课程的教材或教学参考书,也可供相关专业的科技工作者和工程技术人员参考。
第1章 复 数………………………………………………………………………… 1
1.1 复数的概念、运算及几何表示……………………………………………… 1
1.1.1 复数的概念及代数运算…………………………………………… 1
1.1.2 复数的几何表示、模与辐角………………………………………… 2
1.1.3 复数的乘幂与方根………………………………………………… 7
1.2 复平面上的曲线和区域…………………………………………………… 8
1.2.1 平面点集的一般概念……………………………………………… 8
1.2.2 曲线和区域………………………………………………………… 8
1.3 复球面与无穷远点………………………………………………………… 11
习题1 …………………………………………………………………………… 12
第2章 解析函数…………………………………………………………………… 14
2.1 复变函数…………………………………………………………………… 14
2.1.1 复变函数的概念…………………………………………………… 14
2.1.2 复变函数的极限与连续…………………………………………… 15
2.2 解析函数的概念…………………………………………………………… 16
2.2.1 复变函数的导数…………………………………………………… 16
2.2.2 解析函数及其性质………………………………………………… 17
2.3 柯西黎曼方程…………………………………………………………… 18
2.4 初等解析函数……………………………………………………………… 21
2.4.1 指数函数…………………………………………………………… 21
2.4.2 对数函数…………………………………………………………… 22
2.4.3 幂函数……………………………………………………………… 24
2.4.4 三角函数与双曲函数……………………………………………… 25
2.4.5 反三角函数与反双曲函数………………………………………… 27
习题2 …………………………………………………………………………… 29
第3章 复变函数的积分…………………………………………………………… 31
3.1 复积分的概念与计算……………………………………………………… 31
3.1.1 复积分的概念……………………………………………………… 31
3.1.2 复积分的计算……………………………………………………… 32
3.1.3 复积分的基本性质………………………………………………… 34
3.2 柯西积分定理及推广……………………………………………………… 35
3.2.1 柯西积分定理……………………………………………………… 35
3.2.2 多连通区域的柯西积分定理……………………………………… 37
3.3 解析函数的不定积分……………………………………………………… 39
3.4 柯西积分公式……………………………………………………………… 41
3.5 解析函数的高阶导数……………………………………………………… 43
3.5.1 高阶导数公式……………………………………………………… 43
3.5.2 柯西不等式和刘维尔定理………………………………………… 45
3.6 解析函数与调和函数的关系……………………………………………… 46
习题3 …………………………………………………………………………… 48
第4章 级 数……………………………………………………………………… 51
4.1 复数项级数与复变函数项级数…………………………………………… 51
4.1.1 复数序列与复数项级数…………………………………………… 51
4.1.2 复变函数项序列与复变函数项级数……………………………… 52
4.2 幂级数……………………………………………………………………… 53
4.2.1 幂级数的敛散性…………………………………………………… 53
4.2.2 幂级数收敛半径的求法…………………………………………… 55
4.2.3 幂级数的运算和性质……………………………………………… 55
4.3 泰勒级数…………………………………………………………………… 57
4.3.1 解析函数的泰勒展式……………………………………………… 57
4.3.2 一些初等函数的泰勒展式………………………………………… 59
4.4 解析函数的唯一性定理…………………………………………………… 62
4.4.1 解析函数的零点及唯一性定理…………………………………… 62
4.4.2 最大模原理………………………………………………………… 63
4.5 罗朗级数…………………………………………………………………… 64
4.6 解析函数的孤立奇点……………………………………………………… 69
4.6.1 孤立奇点的分类…………………………………………………… 69
4.6.2 函数在孤立奇点的性质…………………………………………… 70
4.6.3 函数在无穷远点的性质…………………………………………… 72
习题4 …………………………………………………………………………… 74
第5章 留数理论及其应用………………………………………………………… 77
5.1 留数定理…………………………………………………………………… 77
5.1.1 留数的定义及留数定理…………………………………………… 77
5.1.2 留数的求法………………………………………………………… 79
5.1.3 函数在无穷远点处的留数………………………………………… 81
5.2 应用留数计算定积分……………………………………………………… 83
5.2.1
5.2.4 积分路径上有奇点的情形………………………………………… 89
5.2.5 一些其他类型的积分……………………………………………… 91
5.3 辐角原理和儒歇定理……………………………………………………… 93
5.3.1 对数留数定理……………………………………………………… 93
5.3.2 辐角原理…………………………………………………………… 94
5.3.3 儒歇定理…………………………………………………………… 95
习题5 …………………………………………………………………………… 97
第6章 保形映射…………………………………………………………………… 99
6.1 保形映射的概念…………………………………………………………… 99
6.1.1 导数的几何意义…………………………………………………… 99
6.1.2 单叶解析函数的映射性质……………………………………… 101
6.1.3 保形映射的概念………………………………………………… 102
6.2 分式线性映射…………………………………………………………… 103
6.2.1 分式线性映射的分解…………………………………………… 104
6.2.2 分式线性映射的保形性………………………………………… 105
6.2.3 分式线性映射的保圆性………………………………………… 106
6.2.4 分式线性映射的保对称点性…………………………………… 107
6.2.5 分式线性映射的保交比性……………………………………… 108
6.2.6 两个重要的分式线性映射……………………………………… 109
6.3 一些初等函数的映射…………………………………………………… 111
6.3.1 幂函数与根式函数……………………………………………… 111
6.3.2 指数函数与对数函数…………………………………………… 112
6.3.3* 儒可夫斯基函数……………………………………………… 113
6.3.4 复合映射举例…………………………………………………… 115
6.4* 施瓦兹克里斯托菲公式……………………………………………… 118
习题6…………………………………………………………………………… 124
第7章 傅里叶变换………………………………………………………………… 127
7.1 傅里叶变换的概念……………………………………………………… 127
7.1.1 傅里叶级数(有限傅里叶变换)………………………………… 127
7.1.2 傅里叶变换的定义……………………………………………… 130
7.2 广义傅里叶变换………………………………………………………… 133
7.3 傅里叶变换的性质及应用……………………………………………… 136
7.3.1 傅里叶变换的基本性质………………………………………… 136
7.3.2 卷积与卷积定理………………………………………………… 140
7.3.3* 相关函数……………………………………………………… 143
7.3.4* 综合举例……………………………………………………… 145
习题7…………………………………………………………………………… 149
第8章 拉普拉斯变换……………………………………………………………… 152
8.1 拉普拉斯变换的概念…………………………………………………… 152
8.1.1 拉普拉斯变换的定义…………………………………………… 152
8.1.2 拉普拉斯变换存在定理………………………………………… 153
8.2 拉普拉斯变换的性质及应用…………………………………………… 155
8.2.1 拉普拉斯变换的基本性质……………………………………… 155
8.2.2 卷积与卷积定理………………………………………………… 160
8.2.3 拉普拉斯逆变换的计算………………………………………… 162
8.2.4 拉普拉斯变换的应用…………………………………………… 165
习题8…………………………………………………………………………… 170
第9章* 解析函数在平面场的应用……………………………………………… 172
9.1 用复变函数表示平面场………………………………………………… 172
9.2 复变函数在流体力学中的应用………………………………………… 173
9.2.1 流量与环量……………………………………………………… 173
9.2.2 平面稳定流动的复势及应用…………………………………… 175
9.3 复变函数在静电场中的应用…………………………………………… 179
习题9…………………………………………………………………………… 182
习题答案与提示……………………………………………………………………… 183
习题1…………………………………………………………………………… 183
习题2…………………………………………………………………………… 183
习题3…………………………………………………………………………… 185
习题4 …………………………………………………………………………… 186
习题5…………………………………………………………………………… 188
习题6…………………………………………………………………………… 189
习题7…………………………………………………………………………… 190
习题8…………………………………………………………………………… 192
习题9…………………………………………………………………………… 193
附录 傅氏变换与拉氏变换简表…………………………………………………… 194
参考文献……………………………………………………………………………… 202
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