现在偏微分方程是建立在工作空间Sobolev空间的理论，本书系统地介绍了这个空间的性质,并给出一般的Poincare不等式新的证明。而积分泛函的变分问题的存在性归结为下半连续性的研究，这直接导致了补偿紧定理的发现。然而积分泛函在群作用下丢失紧性，从而有Lions的集中紧定理。一些经典的变分方法也在本书中予以介绍，像PS条件与Ekeland变分原理与Nehari处理约束泛函极小点问题.在这些内容中包括了极小超曲面问题，特别是Plateau问题，Sobolev嵌入的最佳常数问题，等周不等式。《变分法与偏微分方程》是偏微分方程的基础，他对分析学方面：包括物理力学电子学、几何学方面的学生都是基本内容,本教材是自包含的，介绍了现代偏微分方程的基础内容：Sobolev空间极其性质,容量与有界平均震荡空间；积分泛函的极值问题中的经典方法:包括Euler-Lagrange方程，Jacobi场，Noether定理和条件极值问题。直接方法：下半连续性的充分必要条件，补偿紧性，集中紧性，Ekeland变分原理，和Nehari技巧。最后应用到极小曲面和等周不等式。
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17世纪的欧洲，涌现出许多精妙的科学问题，奠定了变分法的重要性，例如，Fermat （1662）的几何光学问题：光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播，又称最小时间原理或极短光程原理．Galileo （1638）提出的最速下降线（brachistochrone curve）问题，由Bernoulli兄弟（1696），Leibniz和Newton所解决．对变分法的发展起到决定性作用的数学家是Euler和Lagrange.众多的数学家对变分法的发展起到了推动的作用，他们是Bliss，Bolza，Caratheodory，Clebsch，Hahn，Hamilton，Hilbert，Kneser，Jacobi，Legendre，Mayer，Weierstrass等，对变分法的发展具有里程碑意义的工作有以下三项．
（1）极小曲面问题的研究．Lagrange （1762）给出了问题的数学描述，一批数学家Ampere，Beltrami，Bernstein，Bonnet，Catalan，Darboux，Enneper，Haar，Korn，Legendre，Lie，Meusnier，Monge，Muntz，Riemann，H.A. Schwarz，Serret，Weierstrass，Weingarten等对这个问题进行了深入的探讨．Douglas和Rado （1930）给出了第1个完全的证明，Douglas因此获得Fields奖．
（2）19世纪Hilbert研究Dirichlet积分——简单的多重变分积分问题，将调和函数的研究归结为变分问题，并创造了所谓的直接方法．这个威力巨大的工具，被广泛用来研究偏微分方程在Sobolev空间内解的存在性．
（3）1900年，Hilbert在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个问题供20世纪重点发展的研究方向，其中有3个问题（第19，20，23）与变分法有关．
本书是给数学系高年级本科生和研究生讲授变分法的基本内容，希望能在Sobolev空间的框架下，讲授多重积分泛函的变分方法．内容包括泛函的一阶变分、二阶变分、下半连续性、补偿紧性、集中紧性、Ekeland变分、Nehari技巧等，并介绍了极小曲面的Douglas方法和等周不等式的证明，基本内容所需知识做到自包含，通过本书的学习，可以进入相关领域的研究，
目录
前言
引言1
第1章 函数空间5
1.1 连续与 Holder 连续空间5
1.2 Lp 空间6
1.3 Sobolev 空间18
1.4 Capacity 33
1.5 BMO 空间 37
第2章 经典方法45
2.1 Euler-Lagrange 方程46
2.2 泛函的二阶变分48
2.3 Jacobi 场50
2.4 Hamilton-Jacobi 方程54
2.5 Noether 定理59
2.6 条件极值65
第3章 直接方法76
3.1 下半连续性76
3.2 补偿紧 103
3.3 集中紧性原理108
3.4 Ekeland 变分原理 120
3.5 Nehari 技巧122
第4章 极小曲面 126
4.1 R3 中的曲面理论和测地线126
4.2 Douglas-Courant-Tonelli 方法 130
第5章 等周不等式137
5.1 R2 中的等周不等式137
5.2 Rn 中的等周不等式140
参考文献144
索引145
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