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普林斯顿微积分读本（修订版） 
定 价：99 元
9 7 4 8 3 7 5 1 5 1 9 5 0 
本书是作者多年来给普林斯顿大学本科一年级学生开设微积分的每周复习课。本书专注于讲述解题技巧，目的是帮助读者学习一元微积分的主要概念。深入处理一些基本内容，还复习一些主题。本书不仅可以作为参考书，也可以作为教材，定会成为任何一位需要微积分知识人学习一元微积分的非常好的指导书。
对于大多数学生来说，微积分或许是他们曾经上过的倍感迷茫且很受挫折的一门课程了。本书不仅让学生们能有效地学习微积分，更重要的是提供了战胜微积分的可靠工具。
本书源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，他激励了一些考试前想获得成功但考试结果却平平的学生。 作者班纳是美国普林斯顿大学的知名数学教授，并担任新技术研究中心主任。他的授课风格非正式、有吸引力并完全不强求，甚至在不失其详尽性的基础上又增添了许多娱乐性，而且他不会跳过讨论一个问题的任何步骤。 这本经典著作将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在一起。对于每一个想要掌握微积分的学生来说，本书都是极好的资源。当然，非数学专业的学生也将大大受益。
阿德里安·班纳（Adrian Banner），澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司首席执行官兼首席投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。
第1 章函数、图像和直线… … … … … … … …1
1．1 函数… … … … … … … …1 1．1．1 区间表示法… … … … … … … …3 1．1．2 求定义域… … … … … … … …3 1．1．3 利用图像求值域… … … … … … … …4 1．1．4 垂线检验… … … … … … … …5 1．2 反函数… … … … … … … …6 1．2．1 水平线检验… … … … … … … …7 1．2．2 求反函数… … … … … … … …8 1．2．3 限制定义域… … … … … … … … 8 1．2．4 反函数的反函数… … … … … 9 1．3 函数的复合… … … … … … … … … … … … … 10 1．4 奇函数和偶函数… … … … … … … … … … 12 1．5 线性函数的图像… … … … … … … … … … 14 1．6 常见函数及其图像… … … … … … … … … 16 第2 章三角学回顾… … … … … … … … … … … … … 21 2．1 基本知识… … … … … … … … … … … … … … … 21 2．2 扩展三角函数定义域… … … … … … … 23 2．2．1 ASTC 方法… … … … … … … … 25 2．2．2 [0， 2π] 以外的三角函数… … … … … … … … … … … … … 27 2．3 三角函数的图像… … … … … … … … … … 29 2．4 三角恒等式… … … … … … … … … … … … … 32 第3 章极限导论… … … … … … … … … … … … … … … 34 3．1 极限：基本思想… … … … … … … … … … 34 3．2 左极限与右极限… … … … … … … … … … 36 3．3 何时不存在极限… … … … … … … … … … 37 3．4 在∞和-∞处的极限… … … … … 38 3．5 关于渐近线的两个常见误解… … … 41 3．6 三明治定理… … … … … … … … … … … … … 43 3．7 极限的基本类型小结… … … … … … … 45 第4 章求解多项式的极限问题… … … … … … 47 4．1 x → a 时的有理函数的极限… … … 47 4．2 x → a 时的平方根的极限… … … … 50 4．3 x → ∞时的有理函数的极限… … 51 4．4 x → ∞时的多项式型函数的极限… … 56 4．5 x → -∞ 时的有理函数的极限… … … … … 59 4．6 包含绝对值的函数的极限… … … … 61 第5 章连续性和可导性… … … … … … … … … … 63 5．1 连续性… … … … … … … … … … … … … … … … 63 5．1．1 在一点处连续… … … … … … … 63 5．1．2 在一个区间上连续… … … … 64 5．1．3 连续函数的一些例子… … 65 5．1．4 介值定理… … … … … … … … … … 67 5．1．5 一个更难的介值定理 例子… … … … … … … … … … … … … 69 5．1．6 连续函数的最大值和 最小值… … … … … … … … … … … 70 5．2 可导性… … … … … … … … … … … … … … … … 71 5．2．1 平均速率… … … … … … … … … … 72 5．2．2 位移和速度… … … … … … … … 72 5．2．3 瞬时速度… … … … … … … … … … 73 5．2．4 速度的图像阐释… … … … … 74 5．2．5 切线… … … … … … … … … … … … … 75 5．2．6 导函数… … … … … … … … … … … 77 5．2．7 作为极限比的导数… … … … 78 5．2．8 线性函数的导数… … … … … 80 5．2．9 二阶导数和更高阶导数… … … … … … … … … … … … … 80 5．2．10 何时导数不存在… … … … … 81 5．2．11 可导性和连续性… … … … … 82 第6 章求解微分问题… … … … … … … … … … … 84 6．1 使用定义求导… … … … … … … … … … … … 84 6．2 用更好的办法求导… … … … … … … … … 87 6．2．1 函数的常数倍… … … … … … … 88 6．2．2 函数和与函数差… … … … … 88 6．2．3 通过乘积法则求积函数的导数… … … … … … … … … … 88 6．2．4 通过商法则求商函数的导数… … … … … … … … … … 90 6．2．5 通过链式求导法则求复合函数的导数… … … … 91 6．2．6 那个难以处理的例子… … 94 6．2．7 乘积法则和链式求导法则的理由… … … … … … … 96 6．3 求切线方程… … … … … … … … … … … … … 98 6．4 速度和加速度… … … … … … … … … … … … 99 6．5 导数伪装的极限… … … … … … … … … … 101 6．6 分段函数的导数… … … … … … … … … … 103 6．7 直接画出导函数的图像… … … … … … 106 第7 章三角函数的极限和导数… … … … … … 111 7．1 三角函数的极限… … … … … … … … … … 111 7．1．1 小数的情况… … … … … … … … 111 7．1．2 问题的求解——小数的情况… … … … … … … … … … … 113 7．1．3 大数的情况… … … … … … … … 117 7．1．4 其他的" 情况… … … … … … 120 7．1．5 一个重要极限的证明… … 121 7．2 三角函数的导数… … … … … … … … … … 124 7．2．1 求三角函数导数的例子… … … … … … … … … … … … … 127 7．2．2 简谐运动… … … … … … … … … … 128 7．2．3 一个有趣的函数… … … … … 129 第8 章隐函数求导和相关变化率… … … … 132 8．1 隐函数求导… … … … … … … … … … … … … 132 8．1．1 技巧和例子… … … … … … … … 133 8．1．2 隐函数求二阶导… … … … … 137 8．2 相关变化率… … … … … … … … … … … … … 138 8．2．1 一个简单的例子… … … … … 139 8．2．2 一个稍难的例子… … … … … 141 8．2．3 一个更难的例子… … … … … 142 8．2．4 一个非常难的例子… … … … 144 第9 章指数函数和对数函数… … … … … … … 148 9．1 基础知识… … … … … … … … … … … … … … … 148 9．1．1 指数函数的回顾… … … … … 148 9．1．2 对数函数的回顾… … … … … 149 9．1．3 对数函数、指数函数及反函数… … … … … … … … … … 150 9．1．4 对数法则… … … … … … … … … … 151 9．2 e 的定义… … … … … … … … … … … … … … … 153 9．2．1 一个有关复利的问题… … 153 9．2．2 问题的答案… … … … … … … … 154 9．2．3 更多关于e 和对数函数的内容… … … … … … … … 156 9．3 对数函数和指数函数求导… … … … 158 9．4 求解指数函数或对数函数的极限… … … … … … …… … … … 161 9．4．1 涉及e 的定义的极限… … 161 9．4．2 指数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 162 9．4．3 对数函数在1 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 164 9．4．4 指数函数在∞或-∞附近的行为… … … … … 164 9．4．5 对数函数在∞附近的行为… … … … … … … … … … … … … 167 9．4．6 对数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 168 9．5 取对数求导法… … … … … … … … … … … … 169 9．6 指数增长和指数衰变… … … … … … … 173 9．6．1 指数增长… … … … … … … … … … 174 9．6．2 指数衰变… … … … … … … … … … 176 9．7 双曲函数… … … … … … … … … … … … … … … 178 第10 章反函数和反三角函数… … … … … … 181 10．1 导数和反函数… … … … … … … … … … … 181 10．1．1 使用导数证明反函数存在… … … … … … … … … … … … 181 10．1．2 导数和反函数：可能出现的问题… … … … … … … … 182 10．1．3 求反函数的导数… … … … … 183 10．1．4 一个综合性例子… … … … … 185 10．2 反三角函数… … … … … … … … … … … … 187 10．2．1 反正弦函数… … … … … … … … 187 10．2．2 反余弦函数… … … … … … … … 190 10．2．3 反正切函数… … … … … … … … 192 10．2．4 反正割函数… … … … … … … … 194 10．2．5 反余割函数和反余切函数… … … … … … … … … … … … 195 10．2．6 计算反三角函数… … … … … 196 10．3 反双曲函数… … … … … … … … … … … … 199 第11 章导数和图像… … … … … … … … … … … … 202 11．1 函数的极值… … … … … … … … … … … … 202 11．1．1 全局极值和局部极值… … 202 11．1．2 极值定理… … … … … … … … … 203 11．1．3 求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … … 204 11．2 罗尔定理… … … … … … … … … … … … … … 206 11．3 中值定理… … … … … … … … … … … … … … 209 11．4 二阶导数和图像… … … … … … … … … 212 11．5 对导数为零点的分类… … … … … … 215 11．5．1 使用一次导数… … … … … … 215 11．5．2 使用二阶导数… … … … … … 217 第12 章绘制函数图像… … … … … … … … … … … 219 12．1 建立符号表格… … … … … … … … … … … 219 12．1．1 建立一阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 221 12．1．2 建立二阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 222 12．2 绘制函数图像的全面方法… … … 224 12．3 例题… … … … … … … … … … … … … … … … … 225 12．3．1 一个不使用导数的例子… … … … … … … … … … … … 225 12．3．2 完整的方法：例一… … … 227 12．3．3 完整的方法：例二… … … 229 12．3．4 完整的方法：例三… … … 231 12．3．5 完整的方法：例四… … … 234 第13 章最优化和线性化… … … … … … … … … 239 13．1 最优化… … … … … … … … … … … … … … … 239 13．1．1 一个简单的最优化例子… … … … … … … … … … … … 239 13．1．2 最优化问题：一般方法… … … … … … … … … … … … 240 13．1．3 一个最优化的例子… … … 241 13．1．4 另一个最优化的例子… … 242 13．1．5 在最优化问题中使用隐函数求导… … … … … … … … 246 13．1．6 一个较难的最优化例子… … … … … … … … … … … … 246 13．2 线性化… … … … … … … … … … … … … … … 249 13．2．1 线性化问题：一般方法… … … … … … … … … … … … 251 13．2．2 微分… … … … … … … … … … … … 252 13．2．3 线性化的总结和例子… … 254 13．2．4 近似中的误差… … … … … … 256 13．3 牛顿法… … … … … … … … … … … … … … … 258 第14 章洛必达法则及极限问题总结… … 263 14．1 洛必达法则… … … … … … … … … … … … 263 14．1．1 类型A：0/0 … … … … … … … 263 14．1．2 类型A：±∞/±∞ … … 266 14．1．3 类型B1： (∞-∞) … … 267 14．1．4 类型B2： (0 x±∞) … … 269 14．1．5 类型C： 1±∞，00 或∞0… … … … 270 14．1．6 洛必达法则类型的总结… … … … … … … … … … … … 272 14．2 关于极限的总结… … … … … … … … … 273 第15 章积分… … … … … … … … … … … … … … … … 276 15．1 求和符号… … … … … … … … … … … … … … 276 15．1．1 一个有用的求和… … … … … 279 15．1．2 伸缩求和法… … … … … … … … 280 15．2 位移和面积… … … … … … … … … … … … 283 15．2．1 三个简单的例子… … … … … 283 15．2．2 一段更常规的旅行… … … 285 15．2．3 有向面积… … … … … … … … … 287 15．2．4 连续的速度… … … … … … … … 288 15．2．5 两个特别的估算… … … … … 291 第16 章定积分… … … … … … … … … … … … … … … 293 16．1 基本思想… … … … … … … … … … … … … … 293 16．2 定积分的定义… … … … … … … … … … … 297 16．3 定积分的性质… … … … … … … … … … … 301 16．4 求面积… … … … … … … … … … … … … … … 305 16．4．1 求通常的面积… … … … … … 306 16．4．2 求解两条曲线之间的面积… … … … … … … … … … … … 308 16．4．3 求曲线与y 轴所围成的面积… … … … … … … … … … … 310 16．5 估算积分… … … … … … … … … … … … … … 313 16．6 积分的平均值和中值定理… … … 316 16．7 不可积的函数… … … … … … … … … … … 319 第17 章微积分基本定理… … … … … … … … … 321 17．1 用其他函数的积分来表示的函数… … … … … … … … … …… … 321 17．2 微积分的第一基本定理… … … … … 324 17．3 微积分的第二基本定理… … … … … 328 17．4 不定积分… … … … … … … … … … … … … … 329 17．5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理… … … … … … … … … … … … 331 17．5．1 变形1：变量是积分下限… … … … … … … … … … … … 332 17．5．2 变形2：积分上限是一个函数… … … … … … … … … 332 17．5．3 变形3：积分上下限都为函数… … … … … … … … … 334 17．5．4 变形4：极限伪装成导数… … … … … … … … … … … … 335 17．6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理… … … … … … … … … … … … 336 17．6．1 计算不定积分… … … … … … 336 17．6．2 计算定积分… … … … … … … … 339 17．6．3 面积和绝对值… … … … … … 341 17．7 技术要点… … … … … … … … … … … … … … 344 17．8 微积分第一基本定理的证明… … 345 第18 章积分的方法I… … … … … … … … … … … 347 18．1 换元法… … … … … … … … … … … … … … … 347 18．1．1 换元法和定积分… … … … … 350 18．1．2 如何换元… … … … … … … … … 353 18．1．3 换元法的理论解释… … … 355 18．2 分部积分法… … … … … … … … … … … … 356 18．3 部分分式… … … … … … … … … … … … … … 361 18．3．1 部分分式的代数运算… … 361 18．3．2 对每一部分积分… … … … … 365 18．3．3 方法和一个完整的例子… … … … … … … … … … … … 367 第19 章积分的方法II … … … … … … … … … … 373 19．1 应用三角恒等式的积分… … … … … 373 19．2 关于三角函数的幂的积分… … … 376 19．2．1 sin 或cos 的幂… … … … … 376 19．2．2 tan 的幂… … … … … … … … … 378 19．2．3 sec 的幂… … … … … … … … … … 379 19．2．4 cot 的幂… … … … … … … … … … 381 19．2．5 csc 的幂… … … … … … … … … … 382 19．2．6 约化公式… … … … … … … … … 382 19．3 关于三角换元法的积分… … … … … 384 19．3．1 类型1：pa2 ? x2 … … … 384 19．3．2 类型2：px2 + a2 … … … 386 19．3．3 类型3：px2 ? a2 … … … 387 19．3．4 配方和三角换元法… … … 388 19．3．5 关于三角换元法的总结… … … … … … … … … … … … 389 19．3．6 平方根的方法和三角换元法… … … … … … … … … … … 389 19．4 积分技巧总结… … … … … … … … … … … 391 第20 章反常积分：基本概念… … … … … … 393 20．1 收敛和发散… … … … … … … … … … … … 393 20．1．1 反常积分的一些例子… … 395 20．1．2 其他破裂点… … … … … … … … 397 20．2 关于无穷区间上的积分… … … … … 398 20．3 比较判别法(理论)… … … … … … … … 400 20．4 极限比较判别法(理论)… … … … … 402 20．4．1 函数互为渐近线… … … … … 402 20．4．2 关于判别法的陈述… … … 404 20．5 p 判别法(理论) … … … … … … … … … 405 20．6 绝对收敛判别法… … … … … … … … … 407 第21 章反常积分：如何解题… … … … … … 410 21．1 如何开始… … … … … … … … … … … … … … 410 21．1．1 拆分积分… … … … … … … … … 410 21．1．2 如何处理负函数值… … … 411 21．2 积分判别法总结… … … … … … … … … 413 21．3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现… … … … … … … … … … 414 21．3．1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … … … … … … 415 21．3．2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … 417 21．3．3 指数在∞和-∞附近的表现… … … … … … … … … 419 21．3．4 对数在∞ 附近的表现… … … … … … … … … … … … 422 21．4 常见函数在0 附近的表现… … … 426 21．4．1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现… … … 426 21．4．2 三角函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 427 21．4．3 指数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 429 21．4．4 对数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 430 21．4．5 更一般的函数在0 附近的表现… … … … … … … … … 431 21．5 如何应对不在0 或1 处的瑕点… … … … … … … … … … …… … … 432 第22 章数列和级数：基本概念… … … … … 434 22．1 数列的收敛和发散… … … … … … … … 434 22．1．1 数列和函数的联系… … … 435 22．1．2 两个重要数列… … … … … … 436 22．2 级数的收敛与发散… … … … … … … … 438 22．3 第n 项判别法(理论) … … … … … … 442 22．4 无穷级数和反常积分的性质… … 443 22．4．1 比较判别法(理论) … … … 443 22．4．2 极限比较判别法(理论) … … … … … … … … … … … 444 22．4．3 p 判别法(理论)… … … … … 444 22．4．4 绝对收敛判别法… … … … … 445 22．5 级数的新判别法… … … … … … … … … 447 22．5．1 比式判别法(理论) … … … 447 22．5．2 根式判别法(理论) … … … 449 22．5．3 积分判别法(理论) … … … 450 22．5．4 交错级数判别法(理论) … … … … … … … … … … … 453 第23 章求解级数问题… … … … … … … … … … 455 23．1 求几何级数的值… … … … … … … … … 455 23．2 应用第n 项判别法… … … … … … … 457 23．3 应用比式判别法… … … … … … … … … 457 23．4 应用根式判别法… … … … … … … … … 461 23．5 应用积分判别法… … … … … … … … … 462 23．6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法… … … … … … … … 463 23．7 应对含负项的级数… … … … … … … … 468 第24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论… … … … … … … … … 472 24．1 近似值和泰勒多项式… … … … … … 472 24．1．1 重访线性化… … … … … … … … 472 24．1．2 二次近似… … … … … … … … … 473 24．1．3 高阶近似… … … … … … … … … 474 24．1．4 泰勒定理… … … … … … … … … 475 24．2 幂级数和泰勒级数… … … … … … … … 478 24．2．1 一般幂级数… … … … … … … … 479 24．2．2 泰勒级数和麦克劳林级数… … … … … … … … … … … … 481 24．2．3 泰勒级数的收敛性… … … 481 24．3 一个有用的极限… … … … … … … … … 485 第25 章求解估算问题… … … … … … … … … … 487 25．1 泰勒多项式与泰勒级数总结… … 487 25．2 求泰勒多项式与泰勒级数… … … 488 25．3 用误差项估算问题… … … … … … … … 491 25．3．1 第一个例子… … … … … … … … 492 25．3．2 第二个例子… … … … … … … … 494 25．3．3 第三个例子… … … … … … … … 495 25．3．4 第四个例子… … … … … … … … 496 25．3．5 第五个例子… … … … … … … … 497 25．3．6 误差项估算的一般方法… … … … … … … … … … … … 499 25．4 误差估算的另一种方法… … … … … 499 第26 章泰勒级数和幂级数：如何解题… … … … … … … …… … … … … 502 26．1 幂级数的收敛性… … … … … … … … … 502 26．1．1 收敛半径… … … … … … … … … 502 26．1．2 求收敛半径和收敛区域… … … … … … … … … … … … 504 26．2 合成新的泰勒级数… … … … … … … … 508 26．2．1 代换和泰勒级数… … … … … 509 26．2．2 泰勒级数求导… … … … … … 511 26．2．3 泰勒级数求积分… … … … … 512 26．2．4 泰勒级数相加和相减… … 514 26．2．5 泰勒级数相乘… … … … … … 515 26．2．6 泰勒级数相除… … … … … … 516 26．3 利用幂级数和泰勒级数求导… … 517 26．4 利用麦克劳林级数求极限… … … 519 第27 章参数方程和极坐标… … … … … … … 523 27．1 参数方程… … … … … … … … … … … … … … 523 27．2 极坐标… … … … … … … … … … … … … … … 528 27．2．1 极坐标与笛卡儿坐标互换… … … … … … … … … … … … 529 27．2．2 极坐标系中画曲线… … … 530 27．2．3 求极坐标曲线的切线… … 534 27．2．4 求极坐标曲线围成的面积… … … … … … … … … … … … 535 第28 章复数… … … … … … … … … … … … … … … … 538 28．1 基础… … … … … … … … … … … … … … … … … 538 28．2 复平面… … … … … … … … … … … … … … … 541 28．3 复数的高次幂… … … … … … … … … … … 544 28．4 解zn = w … … … … … … … … … … … … … 545 28．5 解ez = w … … … … … … … … … … … … … 550 28．6 一些三角级数… … … … … … … … … … … 552 28．7 欧拉恒等式和幂级数… … … … … … 554 第29 章体积、弧长和表面积… … … … … … 556 29．1 旋转体的体积… … … … … … … … … … … 556 29．1．1 圆盘法… … … … … … … … … … … 557 29．1．2 壳法… … … … … … … … … … … … 558 29．1．3 总结和变式… … … … … … … … 560 29．1．4 变式1：区域在曲线和y 轴之间… … … … … … … 561 29．1．5 变式2：两曲线间的区域… … … … … … … … … … … … 562 29．1．6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转… … … … … 565 29．2 一般立体体积… … … … … … … … … … … 567 29．3 弧长… … … … … … … … … … … … … … … … … 571 29．4 旋转体的表面积… … … … … … … … … 574 第30 章微分方程… … … … … … … … … … … … … 578 30．1 微分方程导论… … … … … … … … … … … 578 30．2 可分离变量的一阶微分方程… … 579 30．3 一阶线性方程… … … … … … … … … … … 581 30．4 常系数微分方程… … … … … … … … … 585 30．4．1 解一阶齐次方程… … … … … 586 30．4．2 解二阶齐次方程… … … … … 586 30．4．3 为什么特征二次方程适用… … … … … … … … … … … … 587 30．4．4 非齐次方程和特解… … … 588 30．4．5 求特解… … … … … … … … … … … 589 30．4．6 求特解的例子… … … … … … 590 30．4．7 解决yP 和yH 间的冲突… … … … … … … … … … … … 592 30．4．8 IVP … … … … … … … … … … … … 593 30．5 微分方程建模… … … … … … … … … … … 595 附录A 极限及其证明… … … … … … … … … … 598 A．1 极限的正式定义… … … … … … … … … … 598 A．2 由原极限产生新极限… … … … … … … 602 A．3 极限的其他情形… … … … … … … … … … 606 A．4 连续与极限… … … … … … … … … … … … … 611 A．5 再谈指数函数和对数函数… … … … 616 A．6 微分与极限… … … … … … … … … … … … … 618 A．7 泰勒近似定理的证明… … … … … … … 627 附录B 估算积分… … … … … … … … … … … … … 629 B．1 使用条纹估算积分… … … … … … … … 629 B．2 梯形法则… … … … … … … … … … … … … … 632 B．3 辛普森法则… … … … … … … … … … … … … 634 B．4 近似的误差… … … … … … … … … … … … … 636 符号列表… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 640 索引… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 643
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