《辛破茧：辛拓展新层次（增订版）》通过与实际课题衔接时的典型例题以及初步探讨的成果，大体上只是给出思路。至于更一般、深入、详尽的研究则有待能人发挥了。
0 多维线性动力学的求解
0．1 线性系统的分离变量法与本征问题
0．2 传递辛矩阵的本征问题
一 离散系统的保辛-守恒算法
1．1 坐标变换的Jacobi矩阵
1．2 传递辛矩阵，Lagrange括号与Poisson括号
1．3 保辛一守恒的参变量算法
1．4 用辛矩阵乘法表述的正则变换
1．4．1 时不变正则变换的辛矩阵乘法表述
1．4．2 时变正则变换的辛矩阵乘法表述
1．4．3 基于线性时不变系统的时变正则变换
1．4．4 包含时间坐标的正则变换
1．5 保辛-守恒的接触参变量算法
1．6 保辛摄动多层网格法
1．6．1 多层次有限元
1．6．2 多层次的迭代求解
1．6．3 数值例题
1．7 传递辛矩阵群
二 不同时间的有限元离散
2．1 双曲型偏微分方程的特征线理论概要
2．2 波动方程
2．3 变动边界问题与混和元
2．4 刚性双曲型偏微分方程例题
2．5 物理意义，Lorentz变换
三 不同维数的有限元离散
3．1 结构力学有限元自动保辛
3．2 波动偏微分方程，不同维数位错的转换
3．3 数值算例
3．4 辛数学能改革开放吗？
3．5 接触问题
3．5．1 拉压模量不同材料的参变量变分原理和有限元方法〔24〕
3．5．2 拉压不同刚度桁架的动力参变量保辛方法〔25〕
3．6 本章结束语
四 界带与时滞
4．1 结构力学的界带分析〔30，33〕
4．1．1 结构力学的界带理论与能带分析
4．1．2 界带分析的能量变分法
4．1．3 色散关系
4．1．4 子结构界带分析
4．1．5 不同原子组成周期链的数值分析
4．1．6 无限长多排原子链组合的情况
4．2 时滞与界带
4．2．1 离散-维链系统的模拟
4．2．2 逐步前进的算法
4．3 连续系统的能量形式
4．3．1 连续系统动力学的能量形式
五 结束语
附录
附录1 SiPESC构造的简单介绍
附录2 力学具有基础与应用学科的两重性
参考文献
不同维数的有限元离散
美国的总统信息技术顾问委员会给总统的报告会强调：“计算-科学同理论和实验并列，已成为科学事业的第2支柱。”
既然要考虑计算科学，有限元法是自然的选择。回看结构力学的有限元法，有五花八门的网格自动生成，而根本没有恒定维数下同时间离散的限制。动力学在有限元离散方面应力求与结构力学有限元法融合，第三种局限性也要破茧。分析动力学常微分方程组有恒定维数的限制。要发展到偏微分方程，采用各种离散于段进行求解是自然的。有限元法提供了思路，可考虑不同维数的离散。
为清楚起见，这里只讲空间一维、时间一维，即时一空2维问题。这样好讲些。本书只求破茧，不求做出全面的推进，以打开思路为目标。因此仍以波动偏微分方程为对象进行分析。
然而，对空间坐标与时间坐标分别离散而生成的离散时间空间格点，是规则的网格。是否能像结构力学有限元一样，将两种坐标混合在一起进行有限元离散呢？前面对于不同时间坐标进行了破茧。这里要考虑不同维数了。
一旦考虑不同维数，群论就发生困难了。M．F．Atiyah说：“群在自然中产生，它们是使事物运动的东西，它们是变换或置换……。理解这些东西的本性，并且使用它们才是目的。”又说：“重要的东西常常不是技术上最困难的即最难证明的东西，而常常是较为初等的部分。因为这些部分与其他领域、分支的相互作用最广泛，即影响面最大。”“在群论中有许多极端重要的，并且在数学的各个角落到处都出现的东西。这些是较为初等的东西：群及其同态，表示的基本观点、一般的性质、一般的方法——这些才是真正重要的。辛矩阵群的乘法本来也有恒定维数的要求。但偏微分方程的离散求解，时一空混合有限元的网格离散不能拘泥于恒定维数。这样，就不是单纯的传递辛矩阵群了，当然也要破茧。在恒定维数的传递辛矩阵群之外，必定要有某些方法处理维数变化的护展。
为什么要保辛？这是为了保持保守系统的优良性质。保守系统有变分原理，可保持其优良性质，例如守恒性等。有限元法是从变分原理推导来的，就继承了这些优良性质，大家愿意用。传递辛矩阵群不敷应用需要，而要破茧之时，也应遵循变分原理的思路。
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