问题篇
第一部分 数的认识
问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
数量是对现实生活中事物量的抽象／数量关系的本质是多与少
问题2 如何认识自然数？
数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象／对应的方法／定义的方法
问题3 表示自然数的关键是什么？
表示自然数的关键是十个符号和数位／十进位的数位法则是依次相差十倍／数位的名称／自然数集合
问题4 如何认识自然数的性质？
依据性质可以对自然数进行分类／奇数与偶数／素数与合数
问题5 如何认识负数？
负数与对应的自然数在数量上相等，表示的意义相反／绝对值符号
问题6 如何认识分数？
分数本身是数而不是运算／整体与等分关系／整比例关系
问题7 如何认识小数？
问题篇
第一部分 数的认识
问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
数量是对现实生活中事物量的抽象／数量关系的本质是多与少
问题2 如何认识自然数？
数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象／对应的方法／定义的方法
问题3 表示自然数的关键是什么？
表示自然数的关键是十个符号和数位／十进位的数位法则是依次相差十倍／数位的名称／自然数集合
问题4 如何认识自然数的性质？
依据性质可以对自然数进行分类／奇数与偶数／素数与合数
问题5 如何认识负数？
负数与对应的自然数在数量上相等，表示的意义相反／绝对值符号
问题6 如何认识分数？
分数本身是数而不是运算／整体与等分关系／整比例关系
问题7 如何认识小数？
重新理解十进制／线性组合／基底／用小数定义有理数和无理数
问题8 什么是数感？
数与现实的联系／抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景
第二部分 数的运算
问题9 如何解释自然数的加法运算？
有两种方法解释自然数的加法／对应的方法／定义的方法／如何体现数学思想
问题10 为什么说减法是加法的逆运算？
四则运算源于加法／减法是加法的逆运算／相反数／整数集合
问题11 乘法是加法的简便运算吗？
自然数集合上的乘法／整数集合上的乘法不是加法的简便运算
问题12 整数集合上的乘法是如何得到的？
整数集合上的乘法运算是自然数集合上乘法运算的推广／为什么负负为正／运算与算理等价
问题13 为什么说除法是乘法的逆运算？
如何表示除法／得到的商是整数／得到的商不是整数／有理数集合／倒数
问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？
运算次序有两个基本法则／所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事
问题15 为什么要学习估算？
精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力／估算问题要有合适的实际背景／合理的量纲／许多估算问题是为了得到上界或者下界
问题16 什么是符号意识？
概念符号／用字母表示数／基于符号的运算／符号的表达具有一般性／关系符号／代数学的开始
问题17 方程的本质是什么？
方程的本质是描述现实世界中的等量关系／用字母表示未知的量／解方程的基本原则是利用等式的性质
问题18 小学数学中有哪些模型？
模型的现实性／总量模型／路程模型／植树模型／工程模型
问题19 发现问题和提出问题有什么不同？
从“双基”到“四基”／发现问题／创新意识／提出问题／创新能力／语言表述／符号表达
第三部分 图形与几何
问题20 为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？
时间和空间是人们认识世界最为基本的概念／几何学是研究如何构建空间度量方法的学科／欧几里得几何／平直的概念／直线距离
问题21 如何理解点、线、面、体、角？
看到的物体都是立体的／点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念／如何用描述的方法给出几何概念
问题22 认识图形的教育价值是什么？
更重要的是让学生学会对图形分类／制订分类标准／遵循标准／培养学生的抽象能力
问题23 如何理解长度、面积、体积？
长度是对一维空间图形的度量／面积是对二维空间图形的度量／体积是对三维空间图形的度量／度量的基础是两点间的直线距离
问题24 如何理解平移、旋转、轴对称？图形的运动／保持任意两点间直线距离不变／刚体运动／参照物
问题25 如何理解空间观念和几何直观？
空间观念的本质是空间想象力／直观是对事物的直接判断，是经验层面的／
直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动或者实践活动／几何直观的作用不局限于数学
第四部分统计与概率
问题26 为什么要强调数据分析观念？
统计学研究的基础是数据／描述统计／推断统计／通过样本推断总体
问题27 三种统计图之间有什么共性和差异？
直观地表述数据／条形统计图更有利于表述数量的多少／扇形统计图更有利于表述数量所占的比例／折线统计图更有利于表述数量的变化
问题28 如何理解数据的随机性？
随机性与不确定性是有所区别的／减少人为干扰／减少系统误差／估计是统计推断的重要手段／最大似然估计／通过样本频率估计概率
问题29 平均数的意义是什么？
平均数在统计学中是一个非常重要的概念／误差模型／随机性误差会因正负抵消而大大减少／样本平均数是真值的无偏估计
问题30 什么是概率？如何得到概率？
概率是指随机事件发生可能性的大小／概率是未知的／估计概率／定义概率／古典概率模型
话题篇
话题1 几种古代的数字符号
话题2 数量的本质
话题3 数量多少的比较
话题4 十进制的自然数
话题5 十二进制与六十进制
话题6 公理体系定义的自然数
话题7 借助算术公理体系解释加法运算
话题8 公理体系的必要性与数学证明的形式
话题9 加法运算和减法运算性质的证明
话题10 用符号表示分类
话题11 素数的故事
话题12 负数的意义
话题13 有理数与无理数
话题14 利用反证法证明根号2是无理数
话题15 用小数定义有理数和无理数
话题16 数学证明的思维过程
话题17 逻辑推理的思维起点
话题18 数学归纳法的论证逻辑
话题19 乘法的定义
话题20 除法运算规定0不能为除数
话题21 除数是分数时的除法运算
话题22 数学中的符号表达
话题23 路程模型中的绝对时间与相对时间
话题24 几何学的由来
话题25 欧几里得《几何原本》
话题26 几何基本概念的进一步抽象
话题27 长度单位的确定
话题28 曹冲称象与浮力
话题29 统计学的由来
话题30 概率的定义和估计
案例篇
案例1 关于问题2“如何认识自然数”的教学设计
案例2 关于问题3“表示自然数的关键是什么”的教学设计
案例3 关于问题4“如何认识自然数的性质”的教学设计
案例4 关于问题5“如何认识负数”的教学设计
案例5 关于问题6“如何认识分数”的教学设计
案例6 关于问题7“如何认识小数”的教学设计
案例7 关于问题8“什么是数感”的教学设计
案例8 关于问题9“如何解释自然数的加法运算”的教学设计
案例9 关于问题1 1“乘法是加法的简便运算吗”的教学设计
案例10 关于问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”的教学设计
案例11 关于问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的教学设计
案例12 关于问题15“为什么要学习估算”的教学设计
案例13 关于问题16“什么是符号意识”的教学设计
案例14 关于问题17“方程的本质是什么”的教学设计
案例15 关于问题18“小学数学中有哪些模型”的教学设计
案例16 关于问题21“如何理解点、线、面、体、角”的教学设计
案例17 关于问题23“如何理解长度、面积、体积”的教学设计
案例18 关于问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”的教学设计
案例19 关于问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”的教学设计
案例20 关于问题29“平均数的意义是什么”的教学设计
问题15 为什么要学习估算？
在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算，因此应当让学生知道估算。此外，精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，因此，学习估算对于培养学生的数感是有好处的。法国脑科学家研究了人们在进行精算和估算时大脑的反射部位，研究结果表明：精算主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠；估算主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切。因此，就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分：精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，小学数学的教学内容不仅要有精算也要有估算。同时，根据上面所说的道理还可以推断：估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入。此外，估算也不是估计：估算也是需要算的。据此，我们可以得到一个基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否则就失去了估算的教育意义。
首先，估算往往要涉及在哪个数位上进行计算的问题，因此，需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲。选择量纲的过程可以让学生感悟估算是对现实问题的度量，进而感悟如何进行估算才是合理的。所谓量纲就是问题8中所说的数量单位，比如，我们考虑距离的度量：如果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适；如果要度量长春到北京的距离，那么用百公里比较合适；如果要度量教室的大小，那么用米比较合适；如果要度量书桌的大小，那么用厘米比较合适。确定了量纲以后，在具体计算时，就可以在量纲的整数位上进行估算，至多以量纲为基准取小数点后一位进行计算，一个类似的例子可以参见《义务教育数学课程标准（2011年版）》的例6。
其次，对于已经给定了数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界，为此，需要对给定的数量进行适当的放大或者缩小，然后凑整计算。
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